Запросы о группах вращений SO(3)SO(3)\mathrm{SO}(3) и SU(2)SU(2)\mathrm{SU}(2) в QM

При классификации представлений группы в КМ необходимо учитывать проективные представления , поскольку состояния на самом деле являются лучами (классами эквивалентности) в гильбертовом пространстве. Это означает, что для изучения вращательной симметрии системы вам нужны проективные представления$\mathrm{SO}(3)$, которые являются стандартными представлениями$\mathrm{SU}(2)$, потому что последний является универсальным покрытием первого. Это причина$\mathrm{SU}(2)$важно в КМ.

Уже представленные ответы охватили разницу между$\mathrm{O}(3)$и$\mathrm{SO}(3)$подробно, так что я не буду повторяться. Вместо этого позвольте мне объяснить суть «использования»$\mathrm{SO}(3)$по сравнению с "использованием"$\mathrm{SU}(2)$, который, я думаю, еще не разъяснен:

1. $\mathrm{SU}(2)$представляет собой двойную обложку$\mathrm{SO}(3)$, что означает, что существует гомоморфизм групп два к одному$\mathrm{SU}(2)\overset{2:1}{\to}\mathrm{SO}(3)$, или, что то же самое,$\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SU}(2)/\mathbb{Z}_2$. Он также просто подключается, то есть является универсальным чехлом . Алгебры Ли обеих этих групп Ли одинаковы, т.е.$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$. Представление алгебры Ли всегда индуцирует линейное представление ассоциированной с ней односвязной группы Ли, но не всегда индуцирует представление других групп. Более конкретно, представление со спином 1/2 является линейным представлением$\mathfrak{so}(3)$, но не из$\mathrm{SO}(3)$, только из$\mathrm{SU}(2)$.

2. Однако представление со спином 1/2 является так называемым проективным представлением$\mathrm{SO}(3)$. Квантовая механика на самом деле требует не обычных линейных представлений групп симметрии, а проективных. По общей причине это так, см. мои вопросы и ответы . В этом случае оказывается, что проективные представления$\mathrm{SO}(3)$эквивалентны линейным представлениям$\mathfrak{so}(3)$, или эквивалентные линейные представления$\mathrm{SU}(2)$. Это причина$\mathrm{SU}(2)$появляется в квантовой механике, но не в классической механике при представлении группы симметрии вращений в нашем пространстве состояний.

3. Представление со спином 1/2 дается «стандартным» представлением$\mathrm{SU}(2)$, т.е. только специальными унитарными матрицами 2 на 2. Но это еще и представление$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$и проективное представление$\mathrm{SO}(3)$. Представление спина 1 дается «стандартным» представлением$\mathrm{SO}(3)$как специальные ортогональные матрицы 3 на 3, но это также представление$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$и представление$\mathrm{SU}(2)$через карту 2-к-1.

как бы вы различали операторы вращения и обратные операторы, было бы достаточным определением, что операторы вращения - это преобразование с одной фиксированной точкой?

Можно определить вращение как операцию, которая отображает произвольный вектор$\vec v$к$\vec v'$через бесконечную последовательность бесконечно малых операций, которая оставляет длину вектора неизменной.

Для примера рассмотрим вращения на плоскости. Из рисунка ниже мы видим, что единственная бесконечно малая операция, которую мы можем выполнить над$\vec v$который оставляет его длину неизменной

Мы говорим, что матрица$M$представляет поворот тогда и только тогда, когда его можно записать в приведенной выше форме. Обратите внимание, что такая матрица, как

Вы можете легко проверить, что матрицы вращений ортогональны (O),$RR^T=I$, и специальные (S),$\det R=1$. Они образуют группу$SO(2)$(или$SO(3)$в трех измерениях). Матрицы отражения имеют определитель$-1$но также ортогональны. Вместе с матрицами вращения образуют группу$O(2)$(или$O(3)$в трех измерениях).

Правильно ли я предполагаю, что$\mathrm{SO}(3)$Группа вращения не имеет большого применения в квантовой механике, а скорее используется в классической механике, тогда как$\mathrm{SU}(2)$используется больше в квантовой механике, особенно для$s =\frac{1}{2}$спиновые системы, где мы работаем в двумерном гильбертовом пространстве?

В трех измерениях бесконечно малые вращения генерируются тремя генераторами:$T_1,T_2,T_3$которые играют роль$T$выше. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

откуда следует, что для общей унитарной матрицы есть четыре независимых параметра, как я вижу, есть три независимых параметра, а именно,$a$,$b$и$\gamma$?

Как уже упоминалось в комментарии jc315, шесть реальных параметров подвергаются двум ограничениям, что оставляет четыре реальных независимых параметра.

1. Тот или иной находится в группе, так что на самом деле не имеет значения, какой из них считать обратным другому. Обратите внимание, что$SU(2)$имеет$3$(нет$4$) независимые параметры.$U(2)$имеет общую фазу, связанную с определителем его элементов, в дополнение к$3$параметры в$SU(2)$.
2. $SO(3)$вероятно, имеет больше приложений, чем$SU(2)$поскольку весь орбитальный угловой момент равен$SO(3)$и не$SU(2)$. В любой задаче с центральным потенциалом вы будете обозначать состояния$SO(3)$нет$SU(2)$невозвр. Волновые функции для жестких роторов (используемых для описания различных волчков и линейных молекул) имеют вид$SO(3)$групповые функции.
3. Параметры сложные. Если начать с$8$комплексные числа $$U=\left(\begin{array}{cc} A&B\\ C&D\end{array}\right)\, ,\qquad A,B,C,D\in\mathbb{C}\, ,$$ то условия унитарности$U^\dagger U=\hat 1$силы$4$условия понравились ортогональности строк и столбцов. Если вы применяете условие det$=+1$это пятое условие$8$параметры -$5$ограничения =$3$«свободные» параметры.
   Генерал$n\times n$унитарная матрица будет содержать$n^2$сложные параметры или$2n^2$реальные параметры. Есть$n^2$условия для строк и столбцов, покидающих$n^2$независимые действительные параметры, из которых вы вычитаете другой, если хотите, чтобы определитель был +1.

$\mathrm{SO}(3)$это группа всех$3 \times 3$вещественные матрицы с определителем$1$. Это определение правильного вращения.$\mathrm{SO}(3)$является группой в формально-математическом смысле, поэтому

The $\mathrm{O}$в$\mathrm{SO}(3)$означает «ортогональный», что означает, что

и$\mathrm{S}$стандарт для «особых», который ограничивает это только положительными детерминантами. Я не знаю, откуда вы взяли, что инверсия существует только в$\mathrm{O}(3)$(все ортогональные матрицы с положительным или отрицательным определителем), но это неверно. Элементы$\mathrm{O}(3)$не в$\mathrm{SO}(3)$(т.е. элементы$\mathrm{O}(3) \backslash \mathrm{SO}(3)$) — матрицы со строго отрицательным определителем, и они называются неправильными вращениями. Они инвертируют оси координат, а также вращаются, из-за чего может возникнуть путаница. (Для ясности: правильное вращение$\iff\mathrm{det}(M) = 1$, неправильное вращение$\iff\mathrm{det}(M) = -1$.)

$\mathrm{SU}(2)$это группа всех$2 \times 2$комплексные матрицы с определителем$1$. $\mathrm{U}$обозначает унитарный, который является сложной версией ортогонального:

где кинжал является эрмитовым сопряжением, но все остальное то же самое (кроме сложных элементов). Есть четыре свободных реальных параметра, потому что есть шесть (несвободных) реальных параметров и два условия,$6-2=4$. В частности, это сложные этапы$a$и$b$(два действительных числа), относительная величина$a$и$b$, а значение$\gamma$, который является одним свободным вещественным параметром (или двумя вещественными числами и сложным условием, обеспечивающим его действительность).

Важным в этих двух группах является то, что$\mathrm{SU}(2)$представляет собой двойную обложку$\mathrm{SO}(3)$. Вот почему вам нужно четыре параметра, чтобы указать вращение в трехмерном пространстве, а не только три. Сфера Блоха в квантовой механике является проявлением этой связи. Двойное покрытие — вот почему угол уменьшается вдвое при переходе к блоховскому представлению кубита.

Во-первых, S означает «особый», что означает, что определитель матрицы равен 1. Ортогональные матрицы, удовлетворяющие$O^T O=I$с определителем -1 — повороты, совмещенные с преобразованиями четности — отражением в зеркале. Для вращений$O^T$это, конечно, матрица, обратная$O$; но преобразования четности иногда называют «инверсией».

Обе группы используются в квантовой механике для описания свойств при вращении различных физических систем в зависимости от их углового момента.$SU(2)$описывает частицы-фермионы со спином 1/2, такие как электрон.$SO(3)$описывает системы со спином 1, такие как p-орбиталь атома водорода или поляризация массивного векторного бозона.