Центростремительное и центробежное ускорение на легкоатлетической дорожке (например)

Почему (по формулам) центробежное ускорение должно точно совпадать с центростремительным ускорением?

В инерциальной системе отсчета центростремительная сила - это просто составляющая чистой силы, направленная к центру вращения.

Рассмотрим классическую струну с грузом на конце. Предположим, что сила тяжести отсутствует, так что единственная сила, действующая на массу, — это натяжение.$T$. Теперь, если масса должна совершить круговое движение по идеальному кругу фиксированного радиуса$r$, вы знаете, что результирующая сила, направленная внутрь (т.е. центростремительная сила), равна

Теперь представьте, что этот объект вращается, и вы перерезаете нить. Я сделал анимацию здесь: https://www.desmos.com/calculator/s8roerbvub . Сначала объект летит радиально наружу. Это происходит просто из-за инерции объекта — он продолжает двигаться с заданной скоростью.

Представьте, что вы в машине. Вы делаете резкий левый поворот. Примерный поворот как идеально круглый. Даже если в конечном итоге вы поворачиваете налево, ваше тело чувствует, что оно «хочет» повернуть направо, наружу. В конце концов, если вы прислонитесь к двери, вы почувствуете, как дверь воздействует на вас. Сила была бы нормальной силой, обеспечивающей необходимую центростремительную силу, чтобы продолжать двигаться по этому кругу (также трение, но мы можем игнорировать это для этой цели). Вывод таков$F_C = N$

Теперь давайте выберем неинерциальную систему отсчета, в которой вы не ускоряетесь. Это было бы прямо в вашей машине. Поскольку вы не ускоряетесь, результирующая сила должна быть равна нулю. Но дверь давит на тебя с какой-то силой$N$Слева. Но вы не ускоряетесь в этом кадре, поэтому должна быть какая-то другая сила, которая уравновешивает его, толкая вас вправо. Эта «другая сила» является фиктивной центробежной силой. По второму закону Ньютона получается, что$F_{fictitious} = N$, но ты знаешь, что$N=F_C$, что означает, что ваша фиктивная центробежная сила равна по величине (но противоположна по направлению) центростремительной силе. То же самое касается ускорения.

Другой способ взглянуть на это - думать о центробежной силе как о реальной силе, но действующей на землю, а не на бегуна. Это часть горизонтальной составляющей силы, которую бегун оказывает на беговую дорожку. Земля воздействует на бегуна центростремительной силой, так как между башмаками и гусеницей достаточно трения.

Другая горизонтальная часть представляет собой тангенциальную силу. Для стопы позади тела эта сила на землю направлена ​​назад, и реакция земли ускоряет бегуна. Для ноги впереди тела сила, действующая на землю, направлена ​​вперед, и ее реакция замедляет спортсмена. Таким образом, он может построить кривую, сохраняя модуль скорости постоянным.

Если вы смотрите на систему из инерциальной (неускоряющей) системы отсчета, то центробежной силы нет. Центробежная сила не имеет ничего общего с движением системы и имеет отношение к системе отсчета. Если вы смотрите на систему из вращающейся системы отсчета, вам придется сделать один из двух выводов (не оба):

1. Второй закон Ньютона нарушен: на ускорение влияет не сила, а что-то другое.
2. Нарушен третий закон Ньютона: существуют силы, не возникающие в результате взаимодействий.

Центробежная сила является результатом последнего варианта: это псевдосила, не имеющая «равной, но противоположной реакции».

Кроме того, в отличие от других ответов, она не обязательно должна быть равна центростремительной силе. Во-первых, даже не обязательно наличие центростремительной силы, чтобы иметь центробежную силу, потому что, как я уже говорил, центробежная сила зависит только от системы отсчета. Но даже в случае равномерного кругового движения центробежная сила равна центростремительной силе только в том случае, когда рамка вращается вместе с объектом, совершающим круговое движение.

И, наконец, тангенциальная составляющая силы — это не центробежная сила; это реальная составляющая, как и центростремительная сила.