Угол крена для разворота самолета на наклонной плоскости

Начнем с самолета, совершающего круг на уровне земли с постоянной скоростью. Его положение определяется

$$\vec{x}_1(t) = r\begin{bmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \\ 0 \end{bmatrix}$$ где $r$радиус поворота, $\omega$– угловая скорость (т.е. $v/r$), и $t$время. $x$- и $y$-координаты параллельны земле и $z$это высота плоскости. Я назначаю высоту $0$к центру круговой траектории самолета для удобства.

Поскольку самолет сохраняет постоянную скорость, все, что нам нужно сделать, это наклонить плоскость полета самолета. Я собираюсь сделать это около$y$-ось.

$$\vec{x}_2(t) = \begin{bmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{bmatrix} r\begin{bmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \\ 0 \end{bmatrix} = r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$

Общая сила, необходимая для поддержания этого пути, равна просто произведению массы самолета на ускорение ($F=ma$), а ускорение определяется второй производной положения. К счастью, угол$\phi$постоянна, поэтому производные довольно просты.

$$\vec{a}_2 = \frac{d\vec{x}_2}{dt} = -\omega^2r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$

На самолет действуют четыре силы: тяга, сопротивление, вес и подъемная сила.

Вес – это константа

$$\vec{F}_w = m\vec{g} = mg\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}$$ где $g$есть ускорение свободного падения.

Чтобы поддерживать постоянную скорость самолета, тяга и сопротивление самолета должны уравновешивать составляющую силы тяжести в том же направлении, что и самолет. Во-первых, скорость самолета определяется выражением

$$\vec{v}_2 = r\omega\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} = v\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix}$$ $$\begin{array}{r l} \vec{F}_T + \vec{F}_d&= -\left(\hat{v}_2 \cdot \vec{F}_g\right)\hat{v}_2 \\ &= mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\hat{v}_2 \\ &= mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} \end{array}$$

Теперь осталось все это подключить$\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$и посмотрим, что осталось сделать лифту:

$$\vec{F}_T + \vec{F}_d + \vec{F}_g + \vec{F}_L = m\vec{a}_2$$ $$\vec{F}_L = m\vec{a}_2 - \vec{F}_T - \vec{F}_d - \vec{F}_g$$ $$\vec{F}_L = -m\omega^2r\begin{bmatrix} \cos(\omega t)cos(\phi) \\ \sin(\omega t) \\ -\cos(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} - mg\sin(\omega t)\sin(\phi)\begin{bmatrix} -\sin(\omega t)cos(\phi) \\ \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t)sin(\phi) \end{bmatrix} + mg\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$

Итак, ммм, да. Углы крена и тангажа не так просты для круга с наклоном. Это не одна из тех задач, где все сводится к аккуратной формуле.

Мы знаем, что подъемная сила направлена ​​перпендикулярно самолету. Угол крена (относительно продольной оси) таков, что вертикальная составляющая подъемной силы равна весу самолета.$mg$а боковая составляющая равна требованию центробежной силы$ma$.

Если самолет наклоняется, то подъемная сила имеет три составляющие: вертикальную, поперечную и продольную. Если угол наклона$\phi$, угол крена$\Theta$, три компонента,

$$F_{longitudinal}=F_{lift}\sin \phi$$ $$F_{vertical}=F_{lift}\cos \phi \cos \Theta =mg$$ $$F_{lateral}=F_{lift}\cos \phi \sin \Theta =ma$$

Все-таки угол крена

$$\arctan(\frac ga)$$

Однако самолету требуется большая тяга, чтобы набрать большую скорость и, следовательно, большую подъемную силу. В противном случае самолет упадет. И он замедляется, если высота звука положительна. Интересная тема!