Упрощение алгебры узлового анализа

Question

Упрощение алгебры узлового анализа

Ник

Я делаю часть А в этом домашнем задании: введите описание изображения здесь

Делая узловой анализ двух операционных усилителей, мы пришли к этим двум уравнениям:

\frac{В_{1} - В_{р е ф}}{р_{2}} + \frac{В_{1} - В_{Икс}}{р_{1}} + \frac{В_{1} - В_{2}}{р_{ф}} "=" 0

$\frac{V_1-V_{ref}}{R_2} + \frac{V_1-V_{x}}{R_1} + \frac{V_1-V_{2}}{R_f} = 0$

\frac{В_{2} - В_{Икс}}{р_{3}} + \frac{В_{2} - В_{1}}{р_{ф}} + \frac{В_{2} - В_{о ты т}}{р_{4}} "=" 0

$\frac{V_2-V_{x}}{R_3} + \frac{V_2-V_{1}}{R_f} + \frac{V_2-V_{out}}{R_4} = 0$

ж час е р е : р_{3} "=" р_{1} а н г р_{2} "=" р_{4}

$where: R_3 = R_1 and R_2 = R_4$ Я пытаюсь просто записать эти два уравнения и получить их в такой форме:

В_{о ты т} "=" А_{г} (В_{2} - В_{1}) + В_{с о н с т}

$V_{out} = A_d(V_2-V_1)+V_{const}$

Я упростил, чтобы получить

В_{Икс} "=" р_{1} (\frac{в_{1} - В_{р е ф}}{р_{2}} + \frac{В_{1} - В_{2}}{р_{ф}}) + В_{1}

$V_x = R_1(\frac{v_1-V_{ref}}{R_2} + \frac{V_1-V_2}{R_f}) + V_1$

В_{о} ты т "=" р_{4} (\frac{В_{2} - В_{Икс}}{р_{3}} + \frac{В_{2} - В_{1}}{р_{ф}}) + В_{2}

$V_out = R_4(\frac{V_2-V_x}{R_3} + \frac{V_2-V_1}{R_f}) + V_2$

Итак, я пытаюсь подключить Vx к Vout и получить вот такого монстра:

В_{о} ты т "=" р_{4} (\frac{В_{2} - [р_{1} (\frac{в_{1} - В_{р е ф}}{р_{2}} + \frac{В_{1} - В_{2}}{р_{ф}} + В_{1})]}{р_{3}} + \frac{В_{2} - В_{1}}{р_{ф}}) + В_{2}

$V_out = R_4(\frac{V_2-[R_1(\frac{v_1-V_{ref}}{R_2} + \frac{V_1-V_2}{R_f} + V_1)]}{R_3} + \frac{V_2-V_1}{R_f}) + V_2$ а затем попытаться упростить, используя R3 = R1 и R2 = R4, но ничего не получится.

Любые подсказки о том, как просто довести эту схему до требуемой формы?

Ответы (2)

Упрощение алгебры узлового анализа

Янковичи · Answer 1

Я рекомендую найти общий знаменатель перед подключением, например:

Узел А

\frac{В_{1} - В_{р е ф}}{р_{2}} + \frac{В_{1} - В_{Икс}}{р_{1}} + \frac{В_{1} - В_{2}}{р_{ф}} "=" 0

$\frac{V_1-V_{ref}}{R_2} + \frac{V_1-V_{x}}{R_1} + \frac{V_1-V_{2}}{R_f} = 0$

В_{1} (р_{1} р_{2} + р_{1} р_{ф} + р_{2} р_{ф}) - В_{2} р_{1} р_{2} - В_{Икс} (р_{ф} р_{2}) + В_{р е ф} р_{ф} р_{1} "=" 0

$V_1(R_1R_2 + R_1R_f + R_2R_f) - V_2R_1R_2 - V_x(R_fR_2) + V_{ref}R_fR_1 = 0$

В_{Икс} (р_{ф} р_{2}) "=" В_{1} (р_{1} р_{2} + р_{1} р_{ф} + р_{2} р_{ф}) - В_{2} р_{1} р_{2} + В_{р е ф} р_{ф} р_{1}

$V_x(R_fR_2) = V_1(R_1R_2 + R_1R_f + R_2R_f) - V_2R_1R_2 + V_{ref}R_fR_1$

Узел Б

\frac{В_{2} - В_{Икс}}{р_{3}} + \frac{В_{2} - В_{1}}{р_{ф}} + \frac{В_{2} - В_{о ты т}}{р_{4}} "=" 0

$\frac{V_2-V_{x}}{R_3} + \frac{V_2-V_{1}}{R_f} + \frac{V_2-V_{out}}{R_4} = 0$

В_{2} (р_{3} р_{4} + р_{4} р_{ф} + р_{3} р_{ф}) - В_{1} р_{3} р_{4} - В_{Икс} (р_{ф} р_{4}) + В_{о} р_{ф} р_{3} "=" 0

$V_2(R_3R_4 + R_4R_f + R_3R_f) - V_1R_3R_4 - V_x(R_fR_4) + V_oR_fR_3 = 0$

В_{Икс} (р_{ф} р_{4}) "=" В_{2} (р_{3} р_{4} + р_{4} р_{ф} + р_{3} р_{ф}) - В_{1} р_{3} р_{4} + В_{о} р_{ф} р_{3}

$V_x(R_fR_4) = V_2(R_3R_4 + R_4R_f + R_3R_f) - V_1R_3R_4 + V_oR_fR_3$

с

р_{4} "=" р_{2} а н г р_{3} "=" р_{1}

$R_4=R_2 \space and \space R_3=R_1$

"=" В_{Икс} (р_{ф} р_{2}) "=" В_{2} (р_{1} р_{2} + р_{2} р_{ф} + р_{1} р_{ф}) - В_{1} р_{1} р_{2} + В_{о} р_{ф} р_{1}

$= V_x(R_fR_2) = V_2(R_1R_2 + R_2R_f + R_1R_f) - V_1R_1R_2 + V_oR_fR_1$

Затем подключите его:

В_{1} (р_{1} р_{2} + р_{1} р_{ф} + р_{2} р_{ф}) - В_{2} р_{1} р_{2} + В_{р е ф} р_{ф} р_{1} "=" В_{2} (р_{1} р_{2} + р_{2} р_{ф} + р_{1} р_{ф}) - В_{1} р_{1} р_{2} + В_{о} р_{ф} р_{1}

$V_1(R_1R_2 + R_1R_f + R_2R_f) - V_2R_1R_2 + V_{ref}R_fR_1 = V_2(R_1R_2 + R_2R_f + R_1R_f) - V_1R_1R_2 + V_oR_fR_1$

В_{о} р_{ф} р_{1} "=" В_{1} (р_{1} р_{2} + р_{1} р_{ф} + р_{2} р_{ф}) + В_{1} р_{1} р_{2} - В_{2} (р_{1} р_{2} + р_{2} р_{ф} + р_{1} р_{ф}) - В_{2} р_{1} р_{2} + В_{р е ф} р_{ф} р_{1}

$V_oR_fR_1 = V_1(R_1R_2 + R_1R_f + R_2R_f) + V_1R_1R_2 - V_2(R_1R_2 + R_2R_f + R_1R_f) - V_2R_1R_2 + V_{ref}R_fR_1$ Я уверен, что вы можете понять остальное.

Альфред Центавр · Answer 2

Для уравнения узла A решите $v_x$

$v_x = (1 + \dfrac{R_1}{R_2||R_F})v_1 - (\dfrac{R_1}{R_2}V_{REF} + \dfrac{R_1}{R_F}v_2)$

Для уравнения узла B решите $v_{out}$

$v_{out} = (1 + \dfrac{R_4}{R_3||R_F})v_2 - (\dfrac{R_4}{R_3}v_x + \dfrac{R_4}{R_F}v_1)$

Вы можете взять это отсюда?

(Кстати, я написал приведенные выше уравнения путем проверки с использованием суперпозиции, а не путем решения ваших узловых уравнений).

Упрощение алгебры узлового анализа

Ник

Ответы (2)

Янковичи

Узел А

Узел Б

Альфред Центавр

Интегратор с импульсным возбуждением достигает бесконечного потенциала?

Операционный усилитель с T-цепью в цепи обратной связи

Помогите определить стабильность цепи ОУ

Помогите мне решить, будет ли эта схема операционного усилителя работать по назначению.

Выяснение принципа работы источника постоянного тока

Где найти модели различных распространенных операционных усилителей для использования в LTSpice?

Найдите невозможное сопротивление цепи

Аналоговый вход на ATMEGA328P с помощью операционного усилителя — как работает эта схема?

Расчет входного сопротивления схемы ОУ

Балансировочные импедансы операционных усилителей