Уравнение теплопроводности: тепловое ядро ​​при t→0t→0t\to0

Рассмотрим тепловой поток на бесконечном одномерном проводе. Температура T(x,t) подчиняется уравнению диффузии

∂ Т ∂ т "=" Д ∂ 2 Т ∂ Икс 2
с начальным условием Т ( Икс , 0 ) "=" дельта ( Икс ) .

Тепловое ядро ​​определяется по формуле:

Т [ Икс , т ] "=" 1 4 π Д т опыт ⁡ ( − Икс 2 4 Д т )

Меня попросили проверить, что тепловое ядро ​​является решением. Легко показать, что это удовлетворяет уравнению теплопроводности. Однако для проверки начального условия в т "=" 0 , я должен принять предел как т → 0 (с виду он стреляет в бесконечность). Может ли кто-нибудь дать мне подсказку о том, как это сделать?

экспоненциальное затухание должно быть намного быстрее, чем обратный квадратный корень, стремящийся к бесконечности, поэтому я не думаю, что ваше предположение о расхождении верно. И Т ( Икс , т ) "=" дельта ( Икс ) для т → 0 , поэтому я не понимаю вашего комментария @lemon
Ведь вы правы! Он сходится к DiracDelta[x] при t->0, хотя выглядит так, будто расходится. Мой вопрос в том, как я докажу, что предел сходится к DiracDelta. Моретти дал исчерпывающее доказательство ниже:)

Ответы (3)

Это легко. Обратите внимание, что

Т [ Икс , т ] "=" ф ( Икс / с ) с
где с "=" т и ф ( Икс ) "=" Т [ Икс , 1 ] . С
∫ р ф ( Икс ) г Икс "=" 1
у нас также есть
∫ р ф ( Икс / с ) с г Икс "=" 1
просто с помощью тривиальной замены переменных, определяющей г "=" Икс / с где с > 0 . Теперь возьмем ограниченную непрерывную функцию г : р → С , с указанной заменой переменных имеем
∫ р ф ( Икс / с ) с г ( Икс ) г Икс "=" ∫ р ф ( Икс / с ) с г ( с Икс / с ) с г Икс / с "=" ∫ р ф ( г ) г ( с г ) г г .
Поэтому
лим т → 0 + ∫ р Т [ Икс , т ] г ( Икс ) г Икс "=" лим с → 0 + ∫ р ф ( г ) г ( с г ) г г "=" ∫ р ф ( г ) г ( 0 ) г г "=" г ( 0 ) ∫ р ф ( г ) г г "=" г ( 0 ) 1 "=" г ( 0 ) .
Другими словами
(1) лим т → 0 + ∫ р Т [ Икс , т ] г ( Икс ) "=" г ( 0 ) .
Единственный важный отрывок
лим с → 0 + ∫ р ф ( г ) г ( с г ) г г "=" ∫ р лим с → 0 + ф ( г ) г ( с г ) г г
Довольно мягким условием, гарантирующим проход, является то, что г ограничено, как уже требовалось (как следствие теоремы Лебега о мажорируемой сходимости ).
Подчеркну, что (1) (где г — гладкая функция с компактным носителем, и мы получили результат при гораздо более слабых гипотезах) — один из возможных способов строго утверждать, что
Т [ Икс , 0 + ] "=" дельта ( Икс ) .
Ядро теплопроводности используется для построения решения уравнения теплопроводности г "=" г ( Икс , т ) из начального состояния г ( Икс ) :
г ( Икс , т ) "=" ∫ р Т [ Икс − у , т ] г ( у ) г у
удовлетворяет
∂ г ∂ т "=" Д ∂ 2 г ∂ Икс 2
для т > 0 с начальным условием
г ( Икс , 0 ) "=" г ( Икс ) .
Доказательство непосредственно следует из (1).

Большое спасибо за вашу помощь! Я займусь этим первым делом завтра утром :)
Итак, я преобразовал тепловое ядро ​​в периодическую версию, так что теперь оно моделирует окружность. Я сделал x -> x+n, и n оценивается по ZIE T(x,t) -> T(x+n, t), и это можно свести к ∑ Exp(-Dt(2πn)^2) * Exp(2πinx), используя формулу Пуассона (суммированную по Z), я буду называть это новое уравнение S(x, t).
Если теперь я наложу новое начальное значение: g(x) = ∑dn Exp(2πinx) И я хочу переписать S(x, t), используя это новое начальное условие. Мне сказали, что это можно сделать с помощью метода свертки/зелени? Поэтому я сделал следующее: ∑ ∫dy. { [Exp(-Dt(2πn)^2) * Exp(2πin (xy) )] * [dn Exp(2πiny)] } где интеграл вычисляется относительно граничного условия, в данном случае это просто [-0,5, 0,5], так как f(x+n) имеет период T=1; и суммирование ведется по Z. Но я не уверен, смогу ли я выполнить свертку того, что находится внутри суммирования, и оставить суммирование вне интеграла.

Другой способ получить ответ Вальтера Моретти, используя несколько устаревшее (но в целом строгое) понятие обобщенных функций, — просто засвидетельствовать, что:

∫ − ∞ ∞ Т ( Икс , т ) г т "=" 1

то есть Т является нормированной функцией Гаусса Икс и, следовательно, мы можем думать о классе эквивалентности последовательностей, прототипом которого является последовательность Т ( Икс , 1 ) , Т ( Икс , 1 2 ) , Т ( Икс , 1 3 ) , ⋯ как обобщенная функция дельта ( Икс ) способом, определенным в М. Дж. Лайтхилле, «Введение в анализ Фурье и обобщенные функции» . Здесь мы понимаем обобщенную функцию не в первую очередь как элемент алгебраического двойственного пространства Шварца, а скорее как класс эквивалентности последовательностей функций, где отношение эквивалентности имеет вид ф "=" { ф н ( Икс ) } н "=" 0 ∞ ∼ г "=" { г н ( Икс ) } н "=" 0 ∞ если лим н → ∞ ⟨ ф н , час ⟩ "=" ⟨ г н , час ⟩ ∀ час е С где С есть пространство Шварца. Таким образом, мы имеем, по определению Лайтхилла дельта , что Т ( Икс , 0 + ) "=" дельта ( Икс ) и остальная часть ответа Вальтера следует.

Теперь я признаю, что это может показаться немного глупым ответом, потому что, по сути, все, что я делаю, это говорю в воображении: «Это правда, потому что это одно из возможных определений дельты Дирака», но это действительно напоминает один подход к введению в понятие обобщенных функций (подход Лайтхилла/Тэмпла), которое до сих пор иногда используется во вводных изложениях идеи. Когда обсуждается этот подход, тепловое ядро ​​часто явно выделяется как «прототип» Лайтхилла для дельта класс эквивалентности. Иногда мне полезно думать об обобщенных функциях таким образом, чтобы увидеть определенные результаты. Так что я ответил, потому что ваш вопрос вызвал приятные воспоминания о моем первом понимании строгого понятия обобщенной функции с помощью подхода Лайтхилла.

Большое спасибо за ваш ответ! попробую над этим поработать :)

Возьмите интеграл от T по x от - бесконечности до + бесконечности и покажите, что он всегда равен 1.

Уравнение теплопроводности: тепловое ядро ​​при t→0t→0t\to0
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v