При поиске функции зеленого, как определить отклонение u(x)u(x)u(x)

Когда луч неподвижен, ваш PDE становится

$$\begin{equation} -E I u_{xxxx} = f(x), \end{equation}$$ или $$\begin{equation} -u_{xxxx} = \frac{f(x)}{EI}. \end{equation}$$ Так вот откуда это деление.

Теперь, глядя на значение функции Грина , давайте предположим , что она удовлетворяет вашему дифференциальному уравнению, с$\delta(x-s)$вместо исходного термина. В этом случае исходный термин$\frac{f(x)}{EI}$, поэтому мы предполагаем, что

$$\begin{equation} -G_{xxxx} = \delta(x-s). \end{equation}$$ (Чтобы получить решение какой-либо конкретной задачи, вам обычно нужно найти конкретную функцию Грина, удовлетворяющую вашему уравнению и граничным условиям. Но сейчас все, что нам нужно, это просто предположить, что она у вас уже есть.)

Тогда причина, по которой функции Грина полезны, заключается в том, что мы можем использовать решение для$G$найти$u$путем выражения исходного члена в виде интеграла, включающего это$\delta$-функция, а затем заменить$\delta$с этой величиной функции Грина:

$$\begin{align} -\partial_x^4 u &= \frac{f(x)}{EI} \\ &= \int \delta(x-s) \frac{f(s)}{EI} ds \\ &= \int -\partial_x^4 G(x,s) \frac{f(s)}{EI} ds \\ &= -\partial_x^4 \int G(x,s) \frac{f(s)}{EI} ds. \end{align}$$ Теперь, сравнивая первую строку с последней, мы видим, что одно решение для $u$просто $$\begin{equation} u(x) = \int G(x, s) \frac{f(s)}{EI} ds. \end{equation}$$ Предполагая $G$также удовлетворяет вашим граничным условиям, это решение, которое вы ищете.

Это очень общая идея, и в основном это всегда то, что вы делаете при использовании функций Грина. Вы должны просто прочитать ту страницу Википедии, на которую я дал ссылку выше, чтобы понять эту идею в целом. Вы почти наверняка будете использовать его снова, но в несколько иных формах, поэтому вам действительно нужно будет понять его на более абстрактном уровне.

---

Я отмечу, что на самом деле вам не нужно делить на$EI$. Вы могли относиться к своему источнику как к простому$f(x)$, так что УЧП было просто

$$\begin{equation} -E I u_{xxxx} = f(x). \end{equation}$$ Помните, что вы заменяете источник [вот это $f(x)$] к $\delta$, а затем предположим, что $G$удовлетворяет этому уравнению, поэтому вам нужно будет иметь $$\begin{equation} -E I G_{xxxx} = \delta(x-s). \end{equation}$$ Результат был бы таким же, за исключением того, что то, что вы называете «функцией Грина», было бы изменено на $EI$.

Вы также могли бы разделить на$-EI$, в таком случае

$$\begin{equation} u_{xxxx} = -\frac{f(x)}{EI} \end{equation}$$ Говорит, что $-\frac{f(x)}{EI}$является вашим источником, поэтому ваша функция Грина должна удовлетворять $$\begin{equation} G_{xxxx} = \delta(x-s). \end{equation}$$ Все дело в том, когда вы делите на любую заданную константу.