Усиление фильтра верхних частот и усиление фильтра Саллена-Ки

Усиление Vout/Vin. Используя теорию идеальных операционных усилителей и импедансы, рассчитайте Vout/Vin. Емкости становятся 1/Cs.

Для фильтра верхних частот вы получите что-то вроде этого:

$$I_2 = \frac{V_{mid}-V_{out}}{R_2}$$ $$I_1 = \frac{V_{in}-V_{mid}}{\frac{1}{C_1s}}$$
$$I_3 = \frac{V_{mid}-V_{out}}{\frac{1}{C_3s}}$$ # Vout из-за того, что входы операционных усилителей равны.
$$I_4 = \frac{V_{out}}{R_4}$$ $$I_1 = I_2 + I_3$$ $$I_3 = I_4$$ Используя приведенную выше информацию, теперь вы сможете определить Vout/Vin, что является вашей прибылью. Повторите то же самое для следующего фильтра.

Используя I3=I4:

$$\frac{V_{out}}{R_4} = \frac{V_{mid}-V_{out}}{\frac{1}{C_3s}}$$ $$V_{out} = (V_{mid} - V_{out})R_4C_3s$$
$$V_{out}(1+R_4C_3s) = V_{mid}R_4C_3s$$ $$V_{out} = V_{mid}R_4C_3s/(1+R_4C_3s)$$ $$V_{mid} = V_{out}(1+R_4C_3s)/(R_4C_3s)$$

Используя I1 = I2 + I3:

$$\frac{V_{in}-V_{mid}}{\frac{1}{C_1s}} = \frac{V_{mid}-V_{out}}{R_2} + \frac{V_{mid}-V_{out}}{\frac{1}{C_3s}}$$ $$V_{in}C_1s = V_{mid}(\frac{1}{R_2}+C_1s+C_3s) - V_{out}(C_3s +\frac{1}{R_2})$$ $$V_{mid} = \frac{V_{in}C_1s + V_{out}(C_3s+\frac{1}{R_2})}{\frac{1}{R_2}+C_1s+C_3s}$$

Объедините верхнее и нижнее уравнения:

$$V_{out}\frac{1+R_4C_3s}{R_4C_3s} = \frac{V_{in}C_1s + V_{out}(C_3s+1/R_2)}{1/R_2+C_1s+C_3s}$$ $$V_{out}( \frac{1}{R_4C_3s} +1 -\frac{C_3s+1/R_2}{1/R_2+C_1s+C_3s} ) = V_{in}\frac{C_1s}{1/R_2+C_1s+C_3s}$$ $$Gain = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{ \frac{C_1s}{1/R_2+C_1s+C_3s} } { \frac{1}{R_4C_3s} +1 -\frac{C_3s+1/R_2}{1/R_2+C_1s+C_3s} }$$

$$\frac{\frac{C_1s(R_4C_3s)}{X}} {1+R_4C_3s-R_4C_3s\frac{C_3s+1/R_2}{X} }$$

$$\frac{ C_1s(R_4C_3s) }{ X+(R_4C_3s)X-R_4C_3s(C_3s+1/R_2) }$$

$$\frac{C_1sR_4C_3s }{ (1/R_2+C_1s+C_3s)(1+R_4C_3s)-R_4C_3s(C_3s+1/R_2) }$$ $$\frac{C_1sR_4C_3s }{ 1/R_2+C_1s+C_3s + R_4C_3s/R_2 + C_1sR_4C_3s+R_4C_3^2s^2-R_4C_3^2s^2-R_4C_3s/R_2 }$$ $$\frac{ C_1sR_4C_3s }{1/R_2+C_1s+C_3s + C_1sR_4C_3s }$$ $$\frac {R_4C_1C_3s^2}{R_4C_1C_3s^2 + (C_1+C_3)s + 1/R_2 }$$

Я не гарантирую, что не допустил где-то опечатки, но это должно направить вас на правильный путь. Как только вы определите основные токи/напряжения, это будет похоже на любую другую схему, где будет много алгебры.

Каждый фильтр представляет собой фильтр с единичным коэффициентом усиления Саллена Ки.

Вы можете сказать, что они имеют единичное усиление по прямой обратной связи между выходом операционного усилителя и инвертирующим входом, которая настраивает операционный усилитель для работы с единичным усилением.

Верхний — highpass. Нижний — низкочастотный.

Если вы рассчитываете коэффициент усиления по постоянному току фильтров... то это довольно просто.

Конденсаторы разомкнуты (отсоединены) при постоянном токе. Оттуда мы видим, что у нас есть только R1 + R2 на клемме «Плюс» операционного усилителя (так что между внутренним «входным сопротивлением» есть делитель напряжения), и у нас есть выход, закороченный на клемму отрицательной обратной связи.

Так что это должно быть что-то близкое к усилителю с единичным усилением на постоянном токе.

---

Для фильтра верхних частот конденсаторы закорочены на бесконечной частоте. Следуя логике снова, мы видим, что операционный усилитель снова является усилителем с единичным коэффициентом усиления на бесконечной частоте.

На практике это не так, потому что все операционные усилители имеют ограниченную полосу пропускания... но, предполагая «идеальные теоретические компоненты», вот как вы это делаете.