В каком направлении будут излучаться гравитационные волны при столкновении двух черных дыр?

В комментарии вы объяснили, что вас интересует угловое распределение мощности, излучаемой в виде гравитационных волн.

Когда две черные дыры находятся близко друг к другу, анализ, вероятно, запутан и требует численной теории относительности . Но когда расстояние между двумя черными дырами значительно превышает их радиусы Шварцшильда, нерелятивистский аналитический подход, описанный в статье Петерса и Мэтьюза 1963 года « Гравитационное излучение от точечных масс на кеплеровской орбите », верен.

Угловое распределение мощности определяется уравнением (5),

$$\frac{dP}{d\Omega}=\frac{G}{8\pi c^5}\left[\dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}_{ij}-2n_i\dddot{Q}_{ij}n_k\dddot{Q}_{kj}-\frac12(\dddot{Q}_{ii})^2+\frac12(n_in_j\dddot{Q}_{ij})^2+\dddot{Q}_{ii}n_jn_k\dddot{Q}_{jk}\right],$$

где$\hat n$- единичный вектор в направлении излучения и

$$Q_{ij}=\sum_n m^{(n)}x^{(n)}_ix^{(n)}_j$$

является массовым квадрупольным тензором двух масс вокруг их центра масс.

Принимая$z$(нет$x$) вдоль направления движения двух отверстий, имеется только одна ненулевая компонента$Q_{ij}$, а именно$Q_{zz}$, и она будет пропорциональна квадрату расстояния. Его третья производная по времени не имеет отношения к вопросу об угловом распределении.

Так как только$Q_{zz}$отличен от нуля, можно обнаружить, что только$n_z=\cos\theta$, где$\theta$- обычный полярный угол от$z$-ось, вступает в сокращения. Результат легко найти

$$\begin{align} \frac{dP}{d\Omega}&=\frac{G}{8\pi c^5}\left[\dddot{Q}_{zz}\dddot{Q}_{zz}-2n_z\dddot{Q}_{zz}n_z\dddot{Q}_{zz}-\frac12(\dddot{Q}_{zz})^2+\frac12(n_zn_z\dddot{Q}_{zz})^2+\dddot{Q}_{zz}n_zn_z\dddot{Q}_{zz}\right]\\ &=\frac{G}{8\pi c^5}(\dddot{Q}_{zz})^2\left[1-2\cos^2\theta-\frac12+\frac12\cos^2\theta+\cos^2\theta\right]\\ &=\frac{G}{16\pi c^5}(\dddot{Q}_{zz})^2\sin^2\theta. \end{align}$$

Так что никакая энергия не излучается вдоль линии движения; излучаемая мощность наибольшая перпендикулярно линии движения; и диаграмма направленности симметрична относительно этой перпендикулярной плоскости, даже если две черные дыры имеют разные массы.

Приложение: Как объясняет @mmeent в другом ответе, мой последний пункт о симметрии относительно перпендикулярной плоскости больше не выполняется, когда также учитываются меньшие мультипольные вклады более высокого порядка. Расчет здесь является расчетом в ведущем порядке (квадрупольным).

На большую часть этого вопроса можно ответить качественно, основываясь на основных аргументах симметрии, не выполняя никаких расчетов и не прибегая к каким-либо приближениям.

Ключевым наблюдением здесь является система, состоящая из двух (невращающихся) черных дыр, траектория которых при лобовом столкновении симметрична относительно оси движения. Это означает, что результирующие гравитационные волны должны иметь одинаковую симметрию.

Итак, гравитационные волны обладают интересным свойством: любая осесимметричная (и гладкая) конфигурация гравитационных волн должна обращаться в нуль вдоль оси симметрии. В конечном счете, это следствие того, что гравитационные волны описываются полем со спином 2. Следовательно, гравитационное излучение вдоль оси симметрии отсутствует.

Вторичным следствием является то, что поляризация всех гравитационных волн должна совпадать с осью симметрии.

Если обе черные дыры имеют одинаковую массу, то система обладает дополнительной симметрией (если смотреть в системе центра масс): обмен двумя черными дырами или, что то же самое, зеркальное отражение системы в плоскости, перпендикулярной оси симметрии и содержащей центр массы. Поскольку излучаемые гравитационные волны должны удовлетворять этой симметрии, распределение гравитационных волн должно быть симметричным вокруг этой центральной плоскости. В частности, суммарный линейный импульс, уносимый гравитационными волнами, должен быть равен нулю.

Если массы неравны, система асимметрична относительно центральной плоскости, и, как правило, в одном направлении будет излучаться больше гравитационных волн, чем в другом (хотя точно вдоль оси симметрии их не будет!). Результатом является чистая эмиссия линейного импульса, и, следовательно, черная дыра, образовавшаяся в результате слияния, будет иметь некоторый линейный импульс в исходной системе центра масс.

Конечно, чтобы получить количественный результат, нужно провести некоторые расчеты. Можно сделать приближение слабого поля, как в ответе Дж. Смита (хотя при использовании квадрупольного приближения это пропустило асимметрию для неравных масс). Из-за высокой степени симметрии эта система была предметом некоторых из самых ранних исследований в области численной теории относительности. (Например, первая симуляция равных масс gr-qc/9309016 или первая симуляция неравных масс gr-qc/9806031 ). В качестве альтернативы можно изучать лобовые столкновения в пределе малого отношения масс ( gr-qc/9609012 ).