Ляпуновская устойчивость круговых орбит

Question

Ляпуновская устойчивость круговых орбит

пирс94

Я изучаю классическую механику по книге Арнольда «Математические методы классической механики». В задаче меня просят найти, для чего $\alpha$ круговые орбиты в задаче центрального поля устойчивы по Ляпунову с потенциалом в виде

U (р) "=" р^{α}, - 2 \leq α < \infty

$U(r)=r^{\alpha}, -2 \leq \alpha < \infty$ Я знаю, что ответ

α = 2

$\alpha =2$ но я не могу узнать, почему. Я знаю определение устойчивости по Ляпунову (решение

φ (t)

$\varphi(t)$ определенный на ней, например, правый максимальный интервал существования,

J_{φ}^{+} = [τ, + \infty)

$J_{\varphi}^{+}=[\tau,+\infty)$ , с начальным условием

(τ, ξ)

$(\tau,\xi)$ для автономной системы устойчива по Ляпунову, если

\forall ε, \exists δ (ε)

$\forall \varepsilon, \exists \delta (\varepsilon)$ такой, что если

‖ ξ - η ‖ < δ

$\|\xi -\eta \|<\delta$ решение

ψ (t)

$\psi(t)$ с начальным условием

(τ, η)

$(\tau,\eta)$ определяется на

J_{ψ}^{+} = J_{φ}^{+}

$J_{\psi}^{+}=J_{\varphi}^{+}$ и

‖ ψ (t) - φ (t) ‖ < ϵ, \forall t \in [τ, + \infty)

$\| \psi(t)-\varphi(t) \|<\epsilon, \forall t \in [\tau,+\infty)$ ) и я также знаю, как использовать функцию Ляпунова для доказательства этого свойства. Проблема в том, что я не могу ни найти правильную функцию Ляпунова, ни доказать устойчивость по Ляпунову, используя собственные значения решения системы. Я также не могу понять разницу между этим условием и условием устойчивости, которое я могу найти с небольшими отклонениями от условия

\ddot{r} = 0

$\ddot r=0$ . В самом деле (если предположить, что

M

$M$ - угловой момент системы и масса

m

$m$ =1) имеем:

\ddot{р} - \frac{М^{2}}{р^{3}} "=" - \frac{\partial U (р)}{\partial р} "=" ф (р)

$\ddot r -\frac{M^2}{r^3}=-\frac{\partial U(r)}{\partial r}=f(r)$ и для

\ddot{r} = 0

$\ddot r=0$ мы имеем круговые орбиты для системы, где радиус

r_{c}

$r_c$ определяется соотношением

- \frac{М^{2}}{р {_{с}}^{3}} "=" - \frac{\partial U (р)}{\partial р} |_{р "=" р_{с}} "=" ф (р_{с})

$-\frac{M^2}{r{_c}^{3}}=-\frac{\partial U(r)}{\partial r}\bigg|_{r=r_c}=f(r_c)$ Для небольших вылетов

r_{c} + ε

$r_c+\varepsilon$ подставляя в предыдущее уравнение и используя разложение Тейлора, мы имеем

ф (р_{с} + ε) "=" \ddot{ε} - \frac{М^{2}}{(р_{с} + ε)^{3}} \Rightarrow \ddot{ε} "=" (ф^{'} (р_{с}) + \frac{3 ф (р_{с})}{р_{С}}) ε

$f(r_c+\varepsilon)=\ddot \varepsilon -\frac{M^2}{(r_c+\varepsilon)^3}\Rightarrow \ddot \varepsilon= \bigg(f'(r_c)+\frac{3f(r_c)}{r_C} \bigg)\varepsilon$ Теперь, если член в скобках отрицателен, у меня есть уравнение гармонического осциллятора, и, таким образом, круговые орбиты стабильны в этом смысле. С потенциалом в виде

U (r) = r^{α}

$U(r)=r^\alpha$ это условие

α > - 3

$\alpha>-3$ . Подводя итоги, мои вопросы:

В чем разница между этими двумя типами стабильности?
Сильнее ли Ляпунов и в каком смысле?
Как я могу доказать, что если $\alpha=2$ круговые орбиты устойчивы по Ляпунову?

Ответы (1)

Ляпуновская устойчивость круговых орбит

Диракология · Answer 1

Позвольте мне назвать радиальную устойчивость стабильностью $r$ вокруг $r_0$ , где $r_0$ - радиус круговой орбиты. Отличие этой устойчивости от устойчивости по Ляпунову состоит в том, что последняя смотрит не только на $r$ но и к полярному углу $\theta$ (для центральной силы) и их сопряженные импульсы. Так что в этом смысле я бы сказал, что Ляпунов сильнее.

В основном орбита $\lambda(t)$ на фазовом пространстве устойчива по Ляпунову, если она остается сколь угодно близкой к орбите $\lambda_0(t)$ (круговая орбита) до тех пор, пока мы делаем начальные условия обоих случаев произвольно близкими. Если теперь этот критерий Ляпунова ограничить только радиальной координатой, то он совпадает с критерием радиальной устойчивости.

Я не буду доказывать результат, заявленный Арнольдом, но могу дать вам некоторую интуицию. Рассмотрим, например, силу обратного квадрата притяжения, потенциал которой равен $U=-r^{-1}$ . Возмущенная (вокруг круговой) орбита представляет собой эллипс. По третьему закону Кеплера период этой возмущенной орбиты равен

Т_{п}^{2} \propto а^{3} .

$T_p^2\propto a^3.$ С

a > r_{0}

$a>r_0$ , этот период больше периода

T_{0}

$T_0$ круговой орбиты. Это означает, что разница между углами двух орбит,

| θ_{p} (t) - θ_{0} (t) |

$|\theta_p(t)-\theta_0(t)|$ неограниченно растет со временем. Они не остаются близкими друг к другу, поэтому эта орбита не является устойчивой по Ляпунову. Однако он радиально стабилен, как вы только что показали в вопросе.

Теперь рассмотрим изотропный гармонический осциллятор, $U=r^2$ . Орбита может быть получена суперпозицией двух гармонических движений с одинаковой частотой, расположенных ортогонально на плоскости. Поскольку период каждого гармонического движения не зависит от амплитуды, период изотропного осциллятора также не зависит от амплитуды. Разница $|\theta_p(t)-\theta_0(t)|$ поэтому постоянна, и ее можно сделать сколь угодно малой, выбирая сколь угодно близкие начальные условия. Изотропный осциллятор устойчив по Ляпунову.

Я думаю, что доказательством утверждения Арнольда было бы предложение привлекательных и радиально устойчивых степенных потенциалов, $U\propto r^n$ , $n>-3$ , а затем показать, что только для $n=2$ период возмущенной орбиты равен периоду круговой орбиты.

Это лучший ответ, который я читал на SE за долгое время. Спасибо, что ответили, а не просто отдали.

Ляпуновская устойчивость круговых орбит

пирс94

Ответы (1)

Диракология

Джерри Ширмер

Регуляризация: что такого особенного в кулоновском/ньютоновском и гармоническом потенциале?

Консервативная центральная сила и устойчивые орбиты

Как рассчитать сферу влияния планеты?

Могут ли две одинаковые звезды вращаться вокруг друг друга по общей орбите, если учитывать только ньютоновскую физику?

Возможность обращения спутника по орбите в фиксированное время

Важность периодических орбит

Какая связь между теоремой Ньютона о раковине и теоремой Бертрана?

Влияет ли масса на скорость орбиты на определенном расстоянии?

Какие факторы определяют скорость движения тел?

Два солнца, одна луна и одна планета?