Вопрос о бесконечной сумме в квантовом поле

Истинный факт заключается в следующем. Учитывать

$$\zeta(s) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} \quad \mbox{with $s\in \mathbb C$ and } Re \:s >1\:. \tag{1}$$ Эта функция с указанной комплексной областью определена корректно (ряд сходится абсолютно и равномерно) и является сложной аналитической функцией. Как следствие известной теоремы об аналитических функциях, можно расширить $\zeta$вне своей исходной области определения в другую сложную аналитическую функцию с большей областью определения. Вообще говоря, это расширение локально уникально. С этим расширенным определением и доменом (1) не обязательно выполняется.

Ведь можно доказать, что$\zeta$допускает единственное комплексное аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость$\mathbb C$кроме точки$s=1$, где имеется особенность ( простой полюс ), которую нельзя устранить, даже предполагая только непрерывность (что является гораздо более слабым условием, чем аналитичность).

Подводя итог, можно сказать, что существует уникальная комплексная аналитическая функция$\zeta : \mathbb C \setminus \{1\} \to \mathbb C$удовлетворяющие (1) в открытом множестве$Re\:s >1$, оно не удовлетворяет (1) в остальной части своей области, в частности$\zeta(1)$не может быть определен.

Тождества, такие как

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} = -\frac{1}{12}\quad \mbox{if $s=-1$}.$$ не имеет смысла ни в каком случае, так как ряд в LHS не сходится для $s=-1$(очевидно!). Они имеют смысл ссылаться на аналитическое продолжение первоначально определенной функции $\zeta$. Именно в этом смысле, например, при вычислении определителя неограниченных операторов с дискретным спектром, они полезны в квантовой (полевой) теории.

ПРИЛОЖЕНИЕ . Эти свойства$\zeta$являются общими с другими подобными функциями, построенными из спектра некоторого эллиптического самосопряженного оператора, такого как$A:= -\Delta$, определенный на компактном римановом многообразии:

$$\zeta_A(s) := \sum_{\lambda \in \sigma(A)} (m_\lambda \lambda)^{-s}\:.\tag{2}$$ Выше $m_\lambda$является геометрической кратностью $\lambda$который всегда конечен, если $A= -\Delta$включая возмущения, в компактных римановых многообразиях. Формально говоря, $\det A$пропорциональна статистической сумме КТП, допускающей лоренцеву версию $A$как оператор уравнений поля, и когда евклидово продолжение лоренцева времени Киллинга приводит к компактным орбитам с периодом $\beta$(обратная температура). Время глушения используется для определения статического вакуума и связанных с ним тепловых (KMS) состояний. Формально $$\det A = \prod_{\lambda\in \sigma (A)} m_\lambda \lambda\:.$$ Однако эта productoria обычно расходится. Тем не менее процедура аналитического продолжения работает. Формально (опускаю $m_\lambda$для встряски простоты) $$\zeta_A'(0) = \frac{d}{ds}|_{s=0}\left(\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \lambda^{-s}\right) = -\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \ln \lambda = -\ln \prod_{\lambda\in \sigma (A)} \lambda\:.$$ Таким образом, можно определить $$\det A := e^{-\zeta_A'(0)}\tag{3}\:,$$ предоставил $\zeta_A'(0)$существовать. Вообще оно существует как раз в смысле аналитического продолжения. Я имею в виду, что функция в (2) оказывается корректно определенной и аналитической при $Re \:s > c_A$для некоторых реальных $c_A$в зависимости от $A$. Более того, эта аналитическая функция однозначно продолжается аналитически на все $\mathbb C$за исключением дискретного набора точек, определяющего расширенную комплексную аналитическую функцию (фактически мероморфную). В этот набор не входит $s=0$. Поэтому определения типа (3) безопасны, по крайней мере, в принципе.

Этот метод можно обобщить для вычисления более сложных объектов, таких как однопетлевой (тепловой) перенормированный тензор энергии напряжений в искривленном пространстве-времени , и можно доказать, что процедура эквивалентна более популярным, таким как так называемый метод разделения точек. . (Часть своей первоначальной карьеры я занимался этими интересными темами.)

Ответ Вальтера полностью правильный, но я просто кратко расширю его, чтобы обратиться к конкретным ценностям, о которых вы спрашиваете. На самом деле, место, куда можно пойти, это страница Википедии Частные значения дзета-функции Римана , где перечислены большинство значений$\zeta(s)$(что, как объяснил Вальтер, равно

$$\zeta(s) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}$$ когда $\operatorname{Re}(s)>1$), которые можно выразить без использования рядов или с помощью более простых.

Например, значение$\zeta(2)$хорошо известно, что$\pi^2/6$, а другие положительные четные целые числа имеют дзета-значения, которые являются рациональными кратными степени$\pi$.

С другой стороны, значение$s=1$несколько отличается, потому что дзета-функция имеет там полюс. Это означает, что нет возможности сделать серию

$$\zeta(1) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$$ означать что-либо иное, чем $\infty$. Этот ряд, конечно же, является гармоническим рядом , который, вероятно, является самым известным примером расходящегося ряда, и существует множество простых доказательств того, почему его значение должно быть бесконечно.

Однако, если вы спросите, почему мы настаиваем на том,

$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$$ бесконечно, но мы можем присвоить конечное (и отрицательное) значение $$1+2+3+4+\cdots,$$ тогда я бы сказал, что второй ряд — это просто удобный способ выразить что-то еще, и его вообще не следовало использовать.