Имеет ли значение угловая мера при размерной регуляризации?

Мы работаем в евклидовом пространстве-времени.

ОП пытается сравнить два рецепта

$$\tag{A} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \mu^{a\epsilon}\int_{\mathbb R^{da}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^dp_1\cdots\mathrm d^dp_a$$ и $$\tag{B} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \tilde\mu^{a\epsilon}\int_{\mathbb R^{na}} \frac{f(p_1,\dots,p_a)}{|p_1|^\epsilon\cdots|p_a|^\epsilon}\, \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a$$ где $(n,a)\in\mathbb N^2$пара целых чисел; $d\in\mathbb C$комплексный параметр; $\epsilon:=n-d$; и $(\mu,\tilde\mu)\in\mathbb R^2$– пара вещественных параметров (масштабов масс).

Мы подчеркиваем, что$(\mathrm A)$является стандартным рецептом размерной регуляризации . Дело$(\mathrm B)$очень похожа на аналитическую регуляризацию Шпеера , но не эквивалентна ей.

Если$f$зависит от импульсов только через их квадрат,

$$f(p_1,\dots,p_a)=f(p_1^2,\dots,p_a^2)$$ то легко проверить, что приведенные выше рецепты эквивалентны $$\tag{A} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \mu^{a\epsilon}\Omega_d^a\int_{\mathbb R^{a}} p_1^{d-1}\cdots p_a^{d-1}f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm dp_1\cdots\mathrm dp_a$$ и $$\tag{B} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \tilde\mu^{a\epsilon}\Omega_n^a\int_{\mathbb R^{a}} p_1^{n-1-\epsilon}\cdots p_a^{n-1-\epsilon}f(p_1,\dots,p_a)\, \mathrm dp_1\cdots\mathrm dp_a$$ и мы видим, что два предписания отображаются друг в друге под $$\tilde\mu^\epsilon\to \frac{\Omega_d}{\Omega_n}\mu^\epsilon$$

Как$\mu,\tilde\mu$произвольны, эти два предписания эквивалентны.

Если$f$содержит нетривиальную спинориальную структуру, эквивалентность по-прежнему верна, если мы согласны с тем, что следы в$d$размеры удовлетворяют

$$\text{tr}(1)=2^{\lfloor n/2\rfloor}$$ для всех $d\in\mathbb C$.

С другой стороны, если$f$содержит нетривиальную структуру Лоренца (т.е. если он не является скаляром Лоренца или зависит от импульсов не только через их квадраты, но и от скалярных произведений$p_i\cdot p_j$), то переписка обрывается . Простой способ убедиться в этом состоит в том, что согласно стандартному рецепту размерной регуляризации мы имеем

$$p^\mu p^\nu\to\frac{\delta^{\mu\nu}}{d}p^2$$ в то время как в измененном рецепте мы имеем $$p^\mu p^\nu\to\frac{\delta^{\mu\nu}}{n}p^2$$

Они не эквивалентны и не могут быть сделаны эквивалентными путем изменения любого предписания (мы не можем определить$p^\mu p^\nu$быть$\frac{\delta^{\mu\nu}}{n}p^2$в$d$размеры, потому что алгебраические манипуляции, такие как сокращения и сдвиги в переменной интегрирования, привели бы к несоответствиям). Хотя верно то, что расходящаяся часть одинакова в обоих подходах, конечная часть не обязательно.

В более общем смысле эти два предписания различаются рациональной функцией вида

$$\frac{P(n)}{P(d)}$$ где $P$является многочленом. Этот полином, вообще говоря, не одинаков для всех диаграмм Фейнмана, которые вносят вклад в определенный порядок в теории возмущений (см., например, случай скалярной КЭД, см. ссылку 1, глава 65). Поэтому не стоит ожидать отмены $\xi$-зависимые термы, и тождество Уорда нарушается. Эта отмена выполняется в случае размерной регуляризации, поэтому эти два предписания не эквивалентны.

Более того, в схеме ОП аномальна не только калибровочная симметрия, но и осевая симметрия. Действительно, если$n$четно, мы можем определить осевую матрицу$\gamma_5$. Эта матрица бесследна$\text{tr}(\gamma_5)=0$для любого числа пространственно-временных измерений, поэтому расходимость осевого тока исчезает (при размерной регуляризации этот аргумент не работает, потому что$\gamma_5$плохо определен для сложных$d$; но в рецепте ОП количество измерений пространства-времени$n$фиксированный). Поскольку осевая аномалия не исчезает ни при каких (четных)$n$(см. этот пост PSE ), регуляризация OP не эквивалентна размерной регуляризации.

Наконец, стоит упомянуть, что существует промежуточный рецепт,

$$\tag{C} \int_{\mathbb R^{na}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^np_1\cdots\mathrm d^np_a\ \to\ \hat\mu^{a\epsilon}\frac{\Omega^a_d}{\Omega_n^a}\int_{\mathbb R^{da}} f(p_1,\dots,p_a)\ \mathrm d^dp_1\cdots\mathrm d^dp_a$$ что эквивалентно размерной регуляризации. Это предписание оставляет угловую меру такой, как $n$вместо $d$, так что это довольно близко к тому, что было после OP. Но подынтегральная функция оценивается комплексно $d$а не на фиксированном $n$, так что это то же самое, что размерная регуляризация (точнее, она отображается в нее при вышеупомянутом перемасштабировании шкалы масс).

Использованная литература.

1. КТП Средненицкого.