Вопрос о пределе интегралов Гаусса и как он связан с интеграцией путей (если вообще)?

Наш план ответа таков. Во-первых, введем постоянную Планка$\hbar$так что конкретное значение$\hbar=1$соответствует исходной задаче. Во-вторых, мы упоминаем о связи (что физики часто называют) с групповым свойством интегралов по траекториям Фейнмана. В-третьих, мы покажем, что искомая формула оказывается классическим «инстантонным» вкладом в асимптотику седловой точки/наискорейшего спуска, которая становится справедливой при$\hbar\to 0$. В настоящее время мы не знаем, можно ли применить полуклассические методы локализации для обоснования разложения седловой точки/наискорейшего спуска, и мы не будем пытаться здесь это обосновать.

Теперь давайте приступим к делу. Определить конечные точки$x_0\equiv x>0$и$x_{n+1}\equiv t>0$. Начнем с введения постоянной Планка$\hbar$в$u_n$функция в уравнении (1.9) arXiv:1102.4729 ,

$$u_n(x,t,\hbar) ~:=~\left[\prod_{j=1}^n 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}x_j}{\sqrt{\hbar}}\right] \prod_{i=1}^{n+1}\frac{e^{-\frac{x_{i-1}^2}{2\hbar x_i}}}{\sqrt{2 \pi x_i}}. \tag{1.9$\hbar$}$$ В частности, для$n=0$, у нас есть

$$u_{n=0}(x,t,\hbar) ~=~\frac{e^{-\frac{x^2}{2\hbar t}}}{\sqrt{2 \pi t}}.$$

The $u_n$функция обладает различными свойствами масштабирования/однородности,

$$\begin{align} u_n( x,t,\hbar) ~=~&\sqrt{\lambda} u_n(\lambda x,\lambda t,\lambda\hbar) \cr ~=~& \lambda u_n(\lambda x,\lambda^{2^{n+1}} t,\hbar) \cr ~=~& \sqrt{\lambda} u_n( x,\lambda^{2^n} t,\frac{\hbar}{\lambda}), \qquad \lambda~>~0. \end{align} \tag{H}$$

С помощью первого свойства однородности в уравнении. ($H$), мы можем сразу вывести соответствующие$\hbar$обобщение уравнения (3.14) в arXiv:1102.4729,

$$\lim_{n\to \infty}u_n(x,t,\hbar) ~=~\frac{1}{\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{2x}{\hbar}}. \tag{3.14$\hbar$}$$

Таким образом, вопрос в основном заключается в том, как мы выводим, понимаем, мотивируем и т. д., экв. (3,14$\hbar$) физически? Чтобы перейти к интерпретации интеграла по траекториям, заметим, что$u_n$функция обладает (что физики часто называют) групповым свойством,

$$u_{n+1+m}(x,z,\hbar) ~=~ 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{n}(x,y,\hbar)u_{m}(y,z,\hbar), \tag{G}$$

по аналогии с пропагатором Фейнмана$K(x_f,t_f;x_i,t_i)$с

$$K(x_3,t_3;x_1,t_1) ~=~ \int_{-\infty}^{\infty}\!\mathrm{d}x_2 ~ K(x_3,t_3;x_2,t_2) K(x_2,t_2;x_1,t_1).$$

Так что «сумма историй» от$x$к$z$можно вычислить интегрированием по промежуточной точке$y$. $n$в$u_n$функция играет роль дискретизированной переменной времени. В качестве проверки непротиворечивости легко увидеть (выполнив некоторые элементарные интегралы), что правая часть уравнения. (3,14$\hbar$),

$$u_{n=\infty}(x,t,\hbar) ~=~\frac{1}{\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{2x}{\hbar}} \qquad \left(~\to~ \sqrt{2\pi x} \delta(x) \quad \mathrm{for} \quad \hbar ~\to~ 0\right),$$

действительно решает групповое уравнение$(G)$в особых случаях$n,m=0,\infty$,

$$\begin{align} u_{\infty}(x,z,\hbar) ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{\infty}(x,y,\hbar) u_{\infty}(y,z,\hbar) \cr ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{\infty}(x,y,\hbar) u_{0}(y,z,\hbar)\cr ~=~& 2 \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{\hbar}} u_{0}(x,y,\hbar) u_{\infty}(y,z,\hbar).\end{align}$$

Затем введите гауссовы импульсы$p_1, \ldots,p_{n+1},$с

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}p_i}{2\pi\sqrt{\hbar}}e^{-\frac{1}{2\hbar}x_ip_i^2} ~=~ \frac{1}{\sqrt{2 \pi x_i}}, \qquad x_i~>~0.$$

Затем$u_n$функция становится

$$u_n(x,t,\hbar) ~=~ \left[\prod_{j=1}^n 2\int_0^{\infty}\frac{\mathrm{d}x_j}{\sqrt{\hbar}}\right]\left[\prod_{i=1}^{n+1}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}p_i}{2\pi\sqrt{\hbar}}\right]e^{-\frac{S}{\hbar}},$$

с действием в евклидовом фазовом пространстве

$$S~:=~\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n+1}\left(\frac{x_{i-1}^2}{x_i}+x_i p_i^2\right).$$

Теперь обратимся к асимптотическому разложению седловой точки/наискорейшего спуска. Классические уравнения движения

$$0 ~\approx~ \frac{\partial S}{\partial p_i} ~=~ x_i p_i,$$

$$0 ~\approx~ \frac{\partial S}{\partial x_i} ~=~ \frac{x_i}{x_{i+1}}-\frac{x_{i-1}^2}{2x_i^2} + \frac{p_i^2}{2},$$

где мы используем$\approx$подписать вместо$=$знак, чтобы подчеркнуть, когда применялись классические уравнения движения. Классическое решение

$$p_i ~\approx~ 0, \qquad q_i ~\approx~ q_{i-1}^2,$$

где мы определили$q_i :=\frac{x_i}{2x_{i+1}}$. Так$q_i \approx q_{i-1}^2 \approx q_{i-2}^4 \approx \ldots \approx q_0^{2^i}$. Теперь телескопический продукт

$$\prod_{i=0}^n 2q_i ~=~\prod_{i=0}^n\frac{x_i}{x_{i+1}}~=~\frac{x_0}{x_{n+1}}=\frac{x}{t},$$

фиксируется граничными условиями$x$и$t$. Так

$$q_0^{2^{n+1}-1}~=~q_0^{\sum_{i=0}^n 2^{i}} ~\approx~\prod_{i=0}^n q_i ~=~\frac{x}{2^{n+1}t},$$

и поэтому единственным классическим решением является

$$q_i ~\approx~ \left( \frac{x}{2^{n+1}t} \right)^{\frac{2^i}{2^{n+1}-1}} ~\to~ 1 \qquad \mathrm{for} \qquad n ~\to ~\infty.$$

Отсюда классически$x_i \approx 2^{-i}x$для$n=\infty$. Классическое значение действия

$$S_{\mathrm{cl}} ~\approx~ \sum_{i=0}^{n} x_i q_i ~\to~ x\sum_{i=0}^{\infty}2^{-i} ~=~2x \qquad \mathrm{for} \qquad n ~\to~ \infty,$$

так что классический "инстантонный" вклад$e^{-\frac{S_{\mathrm{cl}}}{\hbar}}$оказывается правой частью уравнения. (3,14$\hbar$), до$\sqrt{\hbar}$фактор. Это наше главное наблюдение.

Более полное лечение теперь позволило бы вычислить однопетлевой определитель Ван Флека.$\det(\partial^2S)$в асимптотическом разложении седловой точки/наискорейшего спуска. Здесь мы сделаем лишь еще пару замечаний. Гессен$\partial^2 S$действия

$$\frac{\partial^2 S}{\partial x_i\partial x_j} ~=~\delta_{i,j}\left(\frac{1}{x_{i+1}}+\frac{x_i^2}{x_{i+1}^3}\right)-\delta_{i+1,j}\frac{x_i}{x_j^2}-\delta_{i-1,j}\frac{x_j}{x_i^2},$$

$$\frac{\partial^2 S}{\partial p_i\partial x_j} ~=~ \frac{\partial^2 S}{\partial x_i\partial p_j} ~=~ \delta_{i,j}p_i\approx 0, \qquad \frac{\partial^2 S}{\partial p_i\partial p_j} ~=~ \delta_{i,j}x_i.$$

Поскольку у нас есть$n+1$импульсы$p_i$, но только$n$должности$x_i$, мы наивно ожидали бы, что определитель Ван Флека$\det(\partial^2S) \sim x$быть пропорциональным$x$на оболочке. Это означало бы$1/\sqrt{x}$фактор расширения. Было бы интересно увидеть подробный расчет определителя Ван Флека$\det(\partial^2S)$.

Использование функциональных интегралов для описания случайных процессов хорошо известно. Решение стохастического уравнения типа:

$$dX_t = b(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t$$ задается так называемым функционалом Онзагера-Махлупа . Эквивалентность этого подхода обычному уравнению Фоккера-Планка обсуждается в книге Рискена по FPE , и он широко используется в области финансов. В книге Кляйнерта « Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках » также есть глава, посвященная этой теме.