Нормализация интеграла по траекториям

I) Концептуально исходное уравнение OP. (1)

$$\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_f~ \left| K(x_f,t_f;x_i,t_i) \right|^2 ~\stackrel{?}{=}~1 \qquad(\leftarrow\text{Wrong!})\tag{1}$$

противоречит (как независимо понял OP) с фундаментальным принципом интеграла по траекториям Фейнмана, согласно которому амплитуда

$$K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )~=~\sum_{\rm hist.}\ldots$$

представляет собой сумму историй, а вероятность

$$P( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )~=~|K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )|^2~\neq~\sum_{\rm hist.}\ldots$$

это не сумма историй.

Конкретно, отказ уравнения. (1) также можно рассматривать следующим образом. Если мы предположим, что$^1$

$$K( x_i ,t_i ; x_f ,t_f ) ~=~ \overline{K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i ) }, \tag{A}$$

и (полу)групповое свойство фейнмановских пропагаторов/ядер

$$K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~=~ \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_m ~ K(x_f,t_f;x_m,t_m) K(x_m,t_m;x_i,t_i),\tag{B}$$

затем лев. исходного первого уравнения OP. (1) с$(x_i,t_i)=(x_f,t_f)$не равно$1$, но вместо этого становится бесконечным

$$\begin{align} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~=~&\delta(x_f-x_i)~=~\delta(0)~=~\infty, \cr x_i~=~&x_f,\qquad t_i~=~t_f, \end{align}\tag{C}$$

из-за второй формулы OP (2).

II) Результат бесконечной нормализации (C) можно интуитивно понять следующим образом. Напомним, что пути в интеграле по путям удовлетворяют граничному условию Дирихле$x(t_i)=x_i$и$x(t_f)=x_f$. Другими словами, частица локализована в$x$-позиционное пространство в начальный и конечный моменты времени. С другой стороны, частица, локализованная в$x$-позиционное пространство соответствует волновой функции дельта-функции$\Psi(x)=\delta(x-x_0)$, который не нормализуется, ср. например это и это сообщения Phys.SE.

III) Концептуально первое уравнение ОП. (1')

$$\left| \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_f~K(x_f,t_f;x_i,t_i) \right| ~\stackrel{?}{=}~1 \quad(\leftarrow\text{Turns out to be ultimately wrong!}) \tag{1'}$$

это утверждение о том, что частица, изначально локализованная в пространственно-временном событии$(x_i,t_i)$должно с вероятностью 100% находиться в пределах$x$-космос$\mathbb{R}$в последний раз$t_f$, так как наша модель КМ не допускает рождения или уничтожения частиц. Однако такое понятие абсолютных вероятностей ядра Фейнмана$K(x_f,t_f;x_i,t_i)$не может поддерживаться, когда концепция должна быть преобразована в математические формулы, как подробно обсуждается в этом посте Phys.SE. В общем, первое уравнение ОП. (1') выполняется только на короткие промежутки времени$\Delta t \ll \tau$, где$\tau$– некоторый характерный масштаб времени системы.

IV) Пример. Наконец, рассмотрим пример нерелятивистской свободной частицы в 1D. Затем пропагатор Фейнмана читает

$$\begin{align} K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i ) ~=~& \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A(\Delta x)^2}\cr ~=~& \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar} \frac{1}{\Delta t}} \exp\left[ \frac{im}{2\hbar}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right],\cr A~:=~&\frac{m}{2 i\hbar} \frac{1}{\Delta t} , \cr \Delta x~:=~&x_f-x_i, \cr \Delta t~:=~&t_f-t_i ~\neq ~0. \end{align}\tag{D}$$

[Полезно показать, что формула (D) удовлетворяет уравнениям. (AC) и вторая формула OP (2).] Интеграл Гаусса по$x_f$это один

$$\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~ K(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~1,\tag{E}$$

который показывает, что первое уравнение OP. (1') действительно выполняется для свободной частицы. Подынтегральная функция

$$\begin{align} |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2~=~& \frac{|A|}{\pi}~=~ \frac{m}{2\pi \hbar}\frac{1}{|\Delta t|}, \cr \Delta t ~\neq ~&0,\end{align}\tag{F}$$

на лев. исходного первого уравнения OP. (1) не зависит от середины$x_m$. Отсюда интеграл по$x_m$(т.е. левая часть первого уравнения OP (1)) становится бесконечной

$$\begin{align} \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~ |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2~=~& \frac{m}{2\pi \hbar}\frac{1}{|\Delta t|} \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~=~\infty, \cr \Delta t ~\neq ~&0,\end{align}\tag{G}$$

в соответствии с тем, что мы нашли в ур. (С) в разделе I.

Использованная литература:

1. Р. П. Фейнман и А. Р. Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, 1965.

--

$^1$Обратите внимание, что исх. 1 определяет$K(x_f,t_f;x_i,t_i)=0$если$t_i>t_f$, см. ссылку. 1 между ур. (4-27) и ур. (4-28). Здесь мы предполагаем вместо этого свойство (A).

Ваша первая формула неверна. Это распределение не может быть нормализовано. Мы можем получить относительные распределения вероятностей только из абсолютного квадрата ядра. У него есть коэффициент нормализации, но это другой фактор, этот фактор относится к определению интеграла по траекториям. Обратитесь к разделу 4.1 книги Фейнмана «Интегралы по путям в квантовой механике», чтобы понять, как получается этот коэффициент. Мы знаем

$${\lmoustache_{Dx_b}}{K(x_ct_c|x_bt_b)}{dx_b}{K(x_bt_b|x_at_a)}={K(x_ct_c|x_at_a)}$$ где $t_c>t_b>t_a$

Во второй формуле$t_b>t_a$, поэтому предел является левым пределом.

Применение лимита$t_c\rightarrow t_a$ко второму интегралу, который мы получаем (который должен был быть вашей первой формулой)

$${\lmoustache_{Dx_b}}{K(x_ct_c|x_bt_b)}{dx_b}{K(x_bt_b|x_at_a)}={\delta}{(x_c-x_a)}$$

Таким образом, мы можем показать, что в пределе$t_c\rightarrow t_a$

$${K(x_ct_c|x_at_a)}={\delta}{(x_c-x_a)}$$

Абсолютное значение фейнмановских пропагаторов, умноженное на$dx_c$даст вам относительную вероятность, а не точную вероятность. Вот почему интеграл в вашем уравнении должен расходиться. Если наблюдаемый$x$принимал набор конечных значений${x_1,....,x_N}$, то мы заменим интеграл простой суммой и получим тот же предел:

$${\Sigma_{x_i}}{K(x_mt_c|x_it_b)}{K(x_it_b|x_nt_a)}={\delta_{mn}}$$