Исчисление Ито или исчисление Стратоновича: что более актуально с точки зрения физики?

Уравнение Ланжевена представляет собой пример физической модели, включающей дифференциальное уравнение со стохастическим членом. Теперь интересно, как к этому относиться?

Когда я изучал случайные процессы, я узнал об исчислении Ито и Стратоновича *. Тогда я рассматривал эти вещи просто как технические инструменты, разработанные для точного определения стохастического интеграла. Да, в зависимости от того, какой из них вы используете, вы получите те или иные результаты, но меня это не беспокоило, так как я рассматривал эти объекты как простые математические структуры.

Но, сталкиваясь с уравнением Ланжевена, я задаюсь вопросом, как можно сделать его осмысленную интерпретацию? И исчисление Ито, и исчисление Стратоновича кажутся разумными альтернативами, но я не нахожу веских аргументов в пользу того, чтобы предпочесть одно другому. Дело в том, что должен быть способ решить, какой тип стохастического исчисления нам следует использовать! Два разных определения стохастического интеграла приведут к противоречивому физическому закону, что вызывает затруднения.

Я считаю, что уравнение Фоккера-Планка можно вывести из уравнения Ланжевена с помощью формулы Ито, но я не думаю, что есть какой-либо способ добиться этого с помощью исчисления Стратоновича... Но, конечно, это был бы плохой аргумент ad hoc в в пользу исчисления Ито, так что это явно неудовлетворительно.

Подводя итог: как бы вы продолжили выяснять, какая версия стохастического интеграла удобнее для решения стохастических уравнений в физике? Есть ли какое-либо физическое допущение, которое делает исчисление Ито более разумным?

  • Примечание: Конечно, существует целое параметрическое семейство возможных «интерполирующих» исчислений между Ито и Стратоновичем, но я считаю, что эти два — единственные, которые имеют отношение: одно из них порождает свойство мартингала, а другое сохраняется классическое правило интегрирования по частям
Вы должны видеть каждую модель такой, какая она есть: ограниченный инструмент, который иногда корректен, а иногда нет. Когда это неправильно, а когда правильно, природа решает за нас. Каждая придуманная на сегодняшний день модель почти всегда неверна (и в большинстве случаев ее даже нельзя рассчитать), но это не имеет значения. Важны случаи, в которых они верны.
Тем не менее, естественно попытаться найти более глубокий теоретический аргумент, служащий мотивацией для конкретного стохастического интеграла. Я понимаю, в каком смысле «каждая модель неверна», но, учитывая модель, хочется иметь определенную формальную основу для этой модели. Я как бы спрашиваю, что это за формальные рамки в данном случае.
Ну, это, конечно, не только математика, так как я прошу именно обоснования - на физических основаниях - для того или иного типа стохастического интегрирования. Ваш ответ состоит в том, что ничего, кроме «согласия с опытом», нет, и, может быть, это правильно, и, может быть, нет глубокого обоснования для применения того или иного стохастического интеграла, но тем не менее я думаю, что теоретическое упражнение по поиску мотивации, которая делает предпочтительным (в некотором интуитивном неформальном смысле) либо интеграл Ито, либо интеграл Стратоновича.
Единственное «физическое оправдание» состоит в том, что оно согласуется с экспериментом. Это то, что мы делаем в эмпирической науке. Мы не делаем аксиомы, мы не делаем доказательств, мы используем математику как кувалду, чтобы вбить кол в данные наблюдений. Как сказал мой первый профессор теоретической физики (я перевожу несколько вольно, чтобы не выглядеть так, будто мне не нравится философский факультет) на самой первой лекции: «Если вам это не нравится, вот дверь… как то, что вот-вот последует».
Я полностью не согласен. Окончательное оправдание состоит в том, что оно, конечно, согласуется с экспериментом. Но есть множество идей, эвристик и других моделей, которые проливают свет на то, какие модели более разумны или более вероятны. Уравнение Ланжевена, конечно, следует проверять экспериментально, но математически оно следует из уравнений Ньютона и некоторых других соображений, так что перед вами пример того, как найти мотивацию для предложения модели. Я не прошу доказательств. Я не использовал это слово. Просто для физического понимания, какой инструмент удобнее для конкретной ситуации.

Ответы (2)

И то, и другое имеет значение, и «ошибочное представление о том, что уравнение Ланжевена является универсальным стохастическим дифференциальным уравнением для всех видов зашумленных систем, ответственно за трудности, упомянутые» * в вашем посте.

Возьмите SDE из ответа Томаса,

г у г т знак равно А ( у ) + С ( у ) л ( т )
куда л ( т ) является шумовым термином. Предположим, мы можем отключить шум, чтобы мы смотрели только на изолированную, детерминированную систему, и предположим, что мы получили:
г у г т знак равно А ( у )
Таким образом, очевидно, что шумовой член в этом случае должен интерпретироваться согласно Стратоновичу, потому что интерпретация Ито изменила бы динамику изолированной системы.

Выше мы предполагали, как это делают некоторые, что ⟨ л ( т ) л ( т ′ ) ⟩ знак равно Д дельта ( т − т ′ ) , но редко реальные физические процессы создаются из дельт Дирака. Если же нет, то, по Вонгу-Закаи, Стратонович здесь единственно возможная интерпретация (т.е. если л ( т ) носит более общий характер, и по мере приближения к дельте возникает форма интегрирования Стратоновича).

Теперь, включая и выключая шум, мы пришли к выводу, что Стратонович — единственный путь вперед, но в самом начале я сказал, что обе формулировки уместны. В самом деле, что, если шум нельзя выделить?

Важно различать внешние и внутренние источники шума. С внешним мы разобрались, а если шум внутренний, и его невозможно отключить, как, скажем, в химических реакциях? Дело не в том, что у нас есть детерминированный процесс с шумовым членом, наложенным сверху, у нас есть стохастический процесс, и можно было бы утверждать, что средние значения ведут себя детерминированным образом, но ни в коем случае нельзя тогда просто добавить шум термин снова без дополнительных оснований: «Для внутреннего шума нельзя просто постулировать нелинейное уравнение Ланжевена или уравнение Фоккера-Планка, а затем надеяться определить его коэффициенты из макроскопических данных. Более фундаментальный подход [расширения основного уравнения] незаменим».

* Любые цитаты в моем ответе были взяты из исчерпывающей книги по этому вопросу: « Стохастические процессы в физике и химии » ван Кампена, с которой я настоятельно рекомендую вам ознакомиться для более подробного объяснения проблем и того, как с ними бороться.

Хорошо, спасибо за ответ и ссылку. Название действительно очень показательно.
Я не уверен, что полностью понимаю. В пределе, в котором я обращаю мультипликативный шум, б → 0 в моих обозначениях процессы Ито и Стратоновича совпадают. Для аддитивного шума они в любом случае одинаковы.
Кстати: в физических системах шум и сопротивление не являются независимыми. Это содержание флуктуационно-диссипативных (ФД) соотношений. Физики вроде Стра лучше, потому что отношения ФД приобретают более прозрачный вид, но мне не очевидно, что не так с Ито.

Стохастические уравнения в частных производных Ито и Стратоновича можно использовать для вывода уравнения Фоккера-Планка. Действительно, для простых одномерных процессов процесс Ито

г Икс знак равно а г т + б г Вт ( т )
эквивалентен процессу Стратоновича
г Икс знак равно ( а − 1 2 б ∂ Икс б ) г т + б г Вт ( т )
Тогда ответ состоит в том, что оба они физически разумны, для данного уравнения ФП я могу найти и Ито, и процесс Стратоновича, который его реализует. Они физически эквивалентны.

Сказав это, физики склонны считать схему Стратоновича более разумной, потому что уравнение ФП можно вывести, взяв моменты и «наивное» интегрирование по частям.

Исчисление Ито или исчисление Стратоновича: что более актуально с точки зрения физики?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 3v