Вопрос о существовании операций, обратных ааа и а†а†а^{\dagger}

Я задал вопрос на math.stackexchange , который имеет физический смысл.

Мое предположение: предположим а и а † является эрмитовым сопряженным оператором и [ а , а † ] "=" 1 . Я хочу доказать, что нет обратных операторов для а и а † .

Я думал, что это предположение чисто математическое, но ответов у меня нет. Может быть, я что-то упускаю?

Я уточню, что а и а † являются просто операторами создания и уничтожения для квантового гармонического осциллятора.

Ответы (1)

Основное состояние гармонического осциллятора | 0 ⟩ подчиняется

а | 0 ⟩ "=" 0
это означает, что действие а не может быть отменено: как только вы воздействуете с ним на состояние, вы обнуляете коэффициент перед | 0 ⟩ в разложении на собственные состояния занятости. Любой кандидат на обратный оператор а − 1 действие на ноль даст вам снова ноль; ты никогда не получишь 0 назад, так что это означает, что нет оператора а − 1 это удовлетворило бы
а − 1 а "=" 1 .
С другой стороны, существует инверсия с противоположной стороны, которая подчиняется
а а − 1 "=" 1 .
Действие этого а − 1 на | н ⟩ просто определяется как | н + 1 ⟩ / н + 1 или любой другой коэффициент, необходимый для того, чтобы он был обратным. Я могу записать этот односторонний обратный оператор как а † ( а а † ) − 1 который хорошо определен, потому что а а † имеет только ненулевые собственные значения.

Для а † , претензии возвращаются, конечно. Существует обратное, которое подчиняется

( а † ) − 1 а † "=" 1
но не другой.

Вопрос о существовании операций, обратных ааа и а†а†а^{\dagger}
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v