Вопрос о теореме о теннисной ракетке с вырожденными собственными значениями I1,I2,I3I1,I2,I3I_1, I_2 , I_3

Повторное применение уравнений Эйлера

$$\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:~~ \dot{L}_i~\equiv~ I_i \dot{\Omega}_i~=~\Omega_{i+1}(I_{i+1}-I_{i-1}) \Omega_{i-1} \tag{1}$$

приводит к

$$\begin{align}\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:&~~\cr I_1I_2 I_3 \ddot{\Omega}_i~&\stackrel{(1)}{=}~(I_{i+1}-I_{i-1}) \Omega_i\left\{(I_i -I_{i+1}) I_{i+1}\Omega_{i+1}^2- (I_i -I_{i-1}) I_{i-1}\Omega_{i-1}^2\right\} . \end{align}\tag{2}$$

Наблюдение на потом:

$$\forall i ~\in~\mathbb{Z}_3:~~\left( I_{i+1}=I_{i-1}\qquad \stackrel{(1)}{\Rightarrow} \qquad \Omega_{i}, L_{i}\text{ are constants}\right).\tag{3}$$

Предположим, что

$$I_1~\geq~ I_2~ \geq~ I_3 .\tag{4}$$

Есть несколько случаев:

• Случай$I_1>I_2>I_3$: уравнения Эйлера. (1) имеют только три главные оси в качестве точек равновесия$\dot{\vec{\Omega}}=0$.

  1. Большая и малая главные оси стабильны, ср. стандартный геометрический аргумент, где пересечение сферы углового момента и энергетического эллипсоида представляет собой небольшую петлю, см., например, ответы Phys.SE Эмилио Писанти , Майкла Сейферта и ZeroTheHero .

  2. Промежуточная ось $\vec{\Omega}\approx (0,\Omega_2,0)$является$\color{red}{\text{unstable}}$, ср. стандартный аналитический аргумент

     $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{\approx}~\color{red}{+}\omega^2_2 \Omega_i, \qquad i\in{1,3}, \tag{5}$$ где $$\omega_2~:=~\Omega_2\sqrt{\frac{(I_1-I_2)(I_2-I_3)}{I_1I_3}}, \tag{6}$$ см., например, ответ Phys.SE Дэвида Бар Моше .

• Случай$I_1=I_2>I_3$: Затем$\Omega_3$и$L_3$константы, см. экв. (3). Затем

  $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{=}~-\omega^2_3 \Omega_i, \qquad i\in{1,2}, \tag{7}$$ где $$\omega_3~:=~\Omega_3\sqrt{\frac{(I_1-I_3)(I_2-I_3)}{I_1I_2}}~=~{\rm const}. \tag{8}$$ Вывод: имеет место (медленная) прецессия$\vec{\Omega}$и$\vec{L}$вокруг третьей оси с угловой частотой$\omega_3$. Другими словами: если$\vec{\Omega}$близка к третьей оси, она останется близкой; в то время как если$\vec{\Omega}$близко к главной плоскости, она не останется на месте, а будет прецессировать в главной плоскости.

• Случай$I_1>I_2=I_3$: Затем$\Omega_1$и$L_1$константы, см. экв. (3). Затем

  $$\ddot{\Omega}_i~\stackrel{(2)}{=}~-\omega^2_1 \Omega_i, \qquad i\in{2,3}, \tag{9}$$ где $$\omega_1~:=~\Omega_1\sqrt{\frac{(I_1-I_2)(I_1-I_3)}{I_2I_3}}~=~{\rm const}. \tag{10}$$ Вывод: имеет место (медленная) прецессия$\vec{\Omega}$и$\vec{L}$вокруг первой оси с угловой частотой$\omega_1$. Другими словами: если$\vec{\Omega}$близко к первой оси, она останется близкой; в то время как если$\vec{\Omega}$близко к главной плоскости, она не останется на месте, а будет прецессировать в главной плоскости.

• Случай$I_1=I_2=I_3$:$\vec{\Omega}$и$\vec{L}$константы, см. экв. (3).

Интересно, что вырожденные случаи можно точно решить с помощью замкнутых формул.

[Выше мы неявно предполагали, что$\omega_i$в уравнениях (6), (8) и (10) никогда не равны нулю, а строго положительны. На практике это так.]