Устойчивость вращения прямоугольной призмы

Прямоугольная призма является твердым телом. Уравнения движения твердого тела вокруг его центра масс задаются следующим образом: (Пожалуйста, см., например: Марсден и Ратиу , (стр. 6).

$$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3$$ $$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1$$ $$I_3\dot\Omega_3=(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2$$

Где$\Omega_1,_2,_3$– компоненты угловой скорости вокруг осей тела и$I_1,_2,_3$соответствующие моменты инерции.

Учитывая, что моменты инерции различны, мы можем считать без ограничения общности, что:$I_1>I_2>I_3$.

Дело в том, что установившееся движение вокруг промежуточной оси$2$неустойчиво, а вокруг двух других осей движение устойчиво. Этот факт объясняется Марсденом и Ратиу на странице 30. Кроме того, в ответах на связанный вопрос , заданный на mathoverflow, даются различные другие объяснения. Здесь я опишу детали линеаризованного анализа стабильности.

Стационарное состояние, при котором вектор угловой скорости имеет только одну ненулевую постоянную составляющую, является решением уравнений движения.

Например:

$$\Omega_1=\Omega = const.$$ $$\Omega_2=0$$ $$\Omega_3=0$$

есть решение, описывающее вращение вокруг первой оси. Также

$$\Omega_1=0$$ $$\Omega_2=\Omega = const.$$ $$\Omega_3=0$$

также является решением, описывающим вращение вокруг второй оси.

Теперь мы можем проанализировать устойчивость малых возмущений вокруг этих решений. Возмущение первого решения определяется выражением:

$$\Omega_1=\Omega + \epsilon \omega_1$$ $$\Omega_2=\epsilon \omega_2$$ $$\Omega_3=\epsilon \omega_3$$

С$\epsilon<<1$. Подставляя в уравнения движения и оставляя только члены до первой степени$\epsilon$, мы получаем:

$$I_2\dot\omega_2=\epsilon \Omega(I_3-I_1)\omega_3$$ $$I_3\dot\omega_3=\epsilon \Omega(I_1-I_2)\omega_2$$

Взяв первую производную от второго уравнения по времени и подставив второе уравнение, получим:

$$I_2I_3\ddot\omega_3=\epsilon ^2 \Omega^2 (I_3-I_1)(I_1-I_2)\omega_3$$

С$I_3<I_1$а также$I_1>I_2$, коэффициент в правой части отрицательный и возмущение удовлетворяет гармоническому осцилляторному уравнению движения вида:

$$\ddot\omega_3 + k^2 \omega_3 =0$$

Повторяя анализ возмущений для второго решения (вращение вокруг второй оси), получаем:

$$I_2I_3\ddot\omega_3=\epsilon ^2 \Omega^2 (I_2-I_3)(I_1-I_2)\omega_3$$

С$I_3<I_2$а также$I_1>I_2$, этот коэффициент теперь отрицательный, и решение описывает гармонический осциллятор с отрицательной жесткостью пружины в форме:

$$\ddot\omega_3 - k^2 \omega_3 =0$$

Что является неустойчивым возмущением.

Неустойчивость, присущая оси средней длины или$\prod_2$как показано выше, подробно обсуждается у Марсдена и Ратиу , откуда взято изображение.

Нестабильная гомоклиническая орбита, соединяющая две неустойчивые точки, имеет интересные особенности. Они интересны не только из-за хаотических решений методом Пуанкаре-Мельникова, которые могут быть получены в различных возмущенных системах (ссылка), но интересна уже сама орбита, так как твердое тело, брошенное вокруг своей средней оси, будет претерпевать интересные ( и неожиданный) полуоборот, когда достигается противоположная седловая точка, даже если ось вращения вернулась на прежнее место.

Интересный полуоборот лучше всего показан в « эффекте Джанибекова », а также в « теореме о теннисной ракетке ».

Для тех, кто не понимает, почему точка седла по оси средней длины$\prod_2$на картинке выше нестабильно рассмотрим следующее изображение:

Источник изображения

Три оси, которые вы описываете, сопоставимы соответственно:

1. ~ стержень/ось
2. ~ маховик
3. ~ пропеллер

Что такое стабильность и почему две оси устойчивы, а третья неустойчива?

Стабильность относится к «устойчивым» колебаниям, которые должны быть гармоничными, как масса на пружине. Возвратная сила пропорциональна смещению.

$$F=-k*x=m*a=m*\frac{d^2x}{dt^2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(1)}$$ Для угловых ситуаций ситуация становится намного сложнее, поскольку крутящий момент перпендикулярен плоскости вращения. $$\tau =-\kappa \theta=I*\dot{\omega}=I*\frac{d^2\theta}{dt^2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(2)}$$

Когда существует внеосевая сила относительно устойчивой оси, есть две составляющие крутящего момента: одна вдоль основной оси, которая всегда будет вызывать линейное вращение, и вторая, перпендикулярная оси (приблизительно к одной или обеим другим осям), которая в отсутствие основного вращения (или при равномерном распределении массы) также вызвало бы линейное вращение. Таким образом, всегда есть два крутящих момента; первый большой, второй маленький. При устойчивых гармонических колебаниях, как и при устойчивых осях вращения, возникает возвращающая сила, пропорциональная смещению. Ричард Фейнман проделал увлекательную работу, чтобы описать колеблющуюся тарелку , которая будет колебаться в два раза чаще, чем вращаться.

Позволять$\hat{x}_1$,$\hat{x}_2$,а также$\hat{x}_3$быть осями вдоль самой длинной, средней и самой короткой осей прямоугольной призмы соответственно. При стабильном вращении (которое происходит, когда основное вращение составляет около$\hat{x}_1$, а также$\hat{x}_3$) вторичная ось (и) очерчивает круги, как описано Фейнманом .

Проведение анализа прямоугольной призмы по методу, описанному Фейнманом, непременно покажет, что вращение вокруг$\hat{x}_2$создает спираль вместо круга.

Спираль происходит

Представьте себе, что диск, вращающийся вокруг своей оси, очень устойчив: разница между моментами инерции относительно двух других осей равна нулю: он очень стабилен. Теперь замените диск «O» структурой в форме «X», вращающейся вдоль оси, перпендикулярной плоскости X. Вращение снова стабильно по той же причине. Отрежьте два плеча Х на противоположных сторонах, и прямой стержень продолжает вращаться в устойчивых колебаниях. Теперь добавьте проволоку вдоль оси вращения, но торчащую только с одной стороны стержня. Вдруг у вас эффект Джанибекова, который нестабилен точно так же, как добавление ширины к стержню вдоль оси вращения, чтобы сформировать форму, сравнимую с прямоугольной призмой. В случае с проводом это все еще сбивает с толку, но я думаю, что это дает некоторое представление о природе проблемы. Особенно если учесть, что волчок (вращающийся диск с асимметрично продетой через него проволокой) очень стабилен, как и Х-образный волчок.... а волчок в форме пропеллера на самом деле даже не волчок. Итак, возьмите O-образный волчок, вращающийся в невесомости, и случайным образом заставьте почти полукруглые куски диска отлететь так, чтобы он превратился в пропеллер. Теперь момент инерции относительно оси вращающейся «лопасти» пропеллера (самая длинная ось) значительно уменьшен, и в то же время резко уменьшена гироскопическая сила.Имеет смысл, что эта (самая длинная) ось становится «осью свободного вращения» в той или иной степени… с гироскопическими или центробежными силами вращающегося «лезвия», добавляющего, а затем вычитающего из вала, когда он откидывается назад и четвертое в эффекте Джанибекова . Разница между длиной средней оси$\prod_2$и самая короткая ось$\prod_1$выполняет ту же функцию, что и вал пропеллероподобного объекта в эффекте Джанибекова: в частности, он отдает и отбирает центростремительную энергию от основной оси вращения.$\prod_2$как представлено седловой точкой.

Кроме того, обратите внимание, как волчок, когда он замедляется, начинает прецессировать все большими кругами, пока не упадет. Это просто гироскопическая прецессия? Или это первый признак неустойчивых колебаний, сравнимый со спиральным следом оси в эффекте Джанибекова? Я бы предположил, что это немного из того и другого: вершина, вероятно, не является идеальным диском, и как только начинается колебание, к нему, вероятно, добавляется гироскопическая прецессия.

Я мог бы добавить, что Y-образный волчок (60 градусов друг от друга) обладает некоторыми особенно интересными свойствами, поскольку он имеет сходство как с коробкой, так и с пропеллером, но остается волчком, потому что радиальная симметрия позволяет гироскопическим силам стабилизировать ось средней длины. Как указал Бен Кроуэлл в комментариях, этот эффект прекрасно интуитивно объяснен здесь в разделе 4.3.3, прямая ссылка на pdf которого здесь . Я скопировал объяснение туда следующим образом:

Для типичного асимметричного объекта вектор углового момента и вектор угловой скорости не обязательно должны быть параллельны. То есть только для тела, обладающего симметрией относительно оси вращения, верно, что$L=I\omega$(вращательный эквивалент$p=mv$) для некоторого скаляра I.... (причудливый вывод:)

$$K=\frac 12 L\cdot \omega$$ .... Давайте проанализируем проблему прялки, которую я поставил в начале главы. Упоминаемые там три оси вращения (сравнимые с прямоугольной призмой) являются приблизительно главными осями ботинка. Пока башмак находится в воздухе, на него не действуют никакие внешние моменты, поэтому вектор его углового момента должен быть постоянным. Однако это в системе координат комнаты. Рама главной оси прикреплена к башмаку и безумно кувыркается вместе с ним. В системе координат главной оси кинетическая энергия и величина углового момента остаются постоянными, но фактическое направление углового момента не обязательно должно оставаться фиксированным (как вы видели в случае вращения, которое изначально было вокруг оси промежуточной длины) . Постоянный $|L|$дает $${L_x}^2+ {L_y}^2+ {L_z}^2=constant$$ В системе координат главной оси легко найти компоненты $\omega$в терминах компонент L, поэтому мы исключаем $\omega$из выражения $2K=L\cdot \omega$, давая $$\frac{1}{I_xx}{L_x}^2 + \frac{1}{I_yy}{L_y}^2+ \frac{1}{I_zz}{L_z}^2=constant \# 2$$

Первое уравнение представляет собой уравнение сферы в трехмерном пространстве, занимаемом вектором углового момента, а второе уравнение представляет собой уравнение эллипсоида:

Верхний рисунок соответствует случаю вращения вокруг кратчайшей оси, имеющей наибольший момент инерции элемента. Пересечение двух поверхностей состоит только из двух точек спереди и сзади сферы. Угловой момент ограничен одной из этих точек и не может изменить свое направление, т. е. свою ориентацию по отношению к системе главных осей, что является другим способом сказать, что ботинок не может изменить свою ориентацию по отношению к системе главных осей. вектор углового момента. На нижнем рисунке башмак вращается вокруг самой длинной оси. Теперь вектор углового момента захвачен в одной из двух точек справа или слева. Однако в случае вращения вокруг оси с промежуточным элементом момента инерции пересечение сферы и эллипсоида представляет собой не просто пару изолированных точек, а но кривая показана пунктирной линией. Относительная ориентация ботинка и вектор углового момента могут и будут меняться.

Одним из применений тензора момента инерции являются видеоигры, имитирующие автомобильные гонки или полеты на самолетах...

Еще один экзотический пример связан с ядерной физикой. Хотя вы, вероятно, представляли атомные ядра не более чем безликими точками или, возможно, крошечными сферами, они часто представляют собой эллипсоиды с одной длинной осью и двумя более короткими, равными. Хотя вращающееся ядро ​​обычно избавляется от своего углового момента за счет испускания гамма-излучения в течение периода времени порядка пикосекунд, может случиться так, что деформированное ядро ​​попадает в состояние, в котором большой угловой момент находится вдоль его длинной оси, что очень устойчивый режим вращения. Такие состояния могут жить секунды или даже годы! (В этой истории есть нечто большее — это тема, по которой я написал свою докторскую диссертацию, — но основное понимание применимо, даже несмотря на то, что полное рассмотрение требует причудливой квантовой механики.)

Наш анализ до сих пор предполагал, что кинетическая энергия энергии вращения не может быть преобразована в другие формы энергии, такие как тепло, звук или вибрация. Когда это предположение не выполняется, тогда вращение вокруг оси с наименьшим моментом инерции становится неустойчивым и в конечном итоге преобразуется во вращение вокруг оси с наибольшим моментом инерции. Это произошло с первым искусственным спутником США Explorer I, запущенным в 1958 году. Обратите внимание на длинные гибкие антенны, которые имели тенденцию рассеивать кинетическую энергию в вибрации. Он был спроектирован так, чтобы вращаться вокруг своей оси с минимальным моментом инерции, но почти сразу же, как только он оказался в космосе, он начал вращаться из стороны в сторону. Тем не менее, он смог выполнить свою научную миссию, которая не зависела от способности поддерживать стабильную ориентацию,

Связанный вопрос здесь, на Physics.SE
Связанный вопрос о MathOverflow

Я изучал эту проблему 20 лет назад в курсе классической механики, и я помню, что когда вы решаете уравнения движения, вы получаете мнимую экспоненциальную составляющую, которая описывает движение для каждой оси.

Однако в случае промежуточной оси вы получаете умножение двух мнимых чисел в экспоненте, что затем дает вам действительное число в экспоненте, и вместо синусоидального движения оно начинает становиться чисто экспоненциальным.

Конечно, это не приводит к фактическому экспоненциальному движению, поскольку его ничто не поддерживает, как инерция какое-то время поддерживает вращение в двух других направлениях, но в результате оно быстро становится неустойчивым.

Интуитивно, почему это должно быть нестабильным, хотя за пределами математики, я так и не понял. И я полагаю, что точно так же трудно когда-либо получить твердое интуитивное понимание чего-либо в QM, я никогда не пытался...

Я думаю, с точки зрения непрофессионала, это можно описать, используя только момент инерции и центр масс. В примере (а) книга будет удерживаться с осью вращения горизонтально, что даст низкий момент инерции относительно других осей, потому что она очень узкая в этом направлении. Это сведет к минимуму вращение вокруг другой оси, и книга будет вращаться только вокруг оси 1.

В примере (б) все наоборот. Однако момент инерции выше, так как книга наиболее широка в этом направлении, проще расположить пальцы ближе к оси, проходящей через центр масс, создавая меньший крутящий момент в других направлениях.

Пример (c) представляет проблему, потому что малейшее смещение от центра может создать крутящий момент в других направлениях. Я предполагаю, что это связано с тем, что ваша рука велика по сравнению с шириной книги и почти всегда будет смещена от центральной оси. Однако даже с меньшими руками это все равно будет сложно, потому что каждый разрез будет иметь большую массу из-за длины, а наклон книги создаст дисбаланс крутящего момента.

Это моя интерпретация этой проблемы без использования какой-либо математики на уровне выпускников, и она открыта для разногласий.