Возможно ли в трех пространственных измерениях иметь силу, уменьшающуюся обратно пропорционально расстоянию?

В нашей Вселенной электрическая и гравитационная силы уменьшаются с$r^{-2}$из -за закона обратных квадратов .

Представьте себе сферическую оболочку вокруг какого-то точечного источника. Площадь оболочки на некотором радиусе$R$является$4\pi R^2$; таким образом, поток через эту оболочку уменьшается в$r^{-2}$. Это верно для трех измерений и может быть доказано математически. В$N$размеры, сила всегда будет уменьшаться на$r^{N-1}$. Это можно доказать аналогичным образом.

Так что, к сожалению, ваш сценарий невозможен в трех измерениях.

Если да, то может ли такая сила иметь бесконечный радиус действия?

Одна из замечательных особенностей наличия силы, которая уменьшается на$r^{N-1}$заключается в том, что независимо от того, как далеко находится объект, между двумя частицами всегда будет некоторая ненулевая сила. Всегда. Оно может быть очень маленьким, но оно будет ненулевым. Сила всегда будет иметь бесконечный диапазон.

---

Доказательство коэффициента площади поверхности (см. эти примечания ):

Технически термин «сфера» относится только к$N-1$-габаритная поверхность; «мяч» относится к$N$-мерная область. Я буду использовать эти термины в следующем доказательстве.

Объем$n$-мяч пропорционален некоторой степени его радиуса:

$$V_N=C_Nr^N\tag{1}$$ Давайте представим себе $n-1$объемная сферическая оболочка. Соотношение объем-площадь хорошо известно: $$\mathrm{d}V_n=A_n\mathrm{d}r\to A_n=\frac{\mathrm{d}V_N}{\mathrm{d}r}\tag{2}$$ Мы можем различать $(1)$по степенному правилу, чтобы получить $$\frac{\mathrm{d}V_N}{\mathrm{d}r}=C_NNr^{N-1}\tag{3}$$ Возьмем для догадки интеграл $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-r^2}\mathrm{d}V_N\tag{4}$$ Мы можем переписать это как $$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x_1\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x_Ne^{-x_1^2-x_2^2-\cdots-x_N^2}\tag{5}$$ Этот последний шаг сделан, потому что $$V_N=x_1x_2\cdots x_N$$ Тогда у нас есть $$\left(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}xe^{-x^2}\right)^N=\pi^{N/2}\tag{6}$$ Опять же, это из-за равенства всех $x_k$с. Замена в $\mathrm{d}V_N=A_N\mathrm{d}r$, у нас есть $$\int_0^{\infty}e^{-r^2}A_N\mathrm{d}r=C_NN\int_0^{\infty}e^{-r^2}r^{N-1}\mathrm{d}r=\frac{C_NN}{2}\int_0^{\infty}e^{-s}s^{N/2-1}\tag{7}$$ Решив этот интеграл с помощью гамма-функции, получим $$\frac{C_NN}{2}\Gamma(N/2)=C_N(N/2)!\to C_N=\frac{\pi^{N/2}}{(N/2)!}\tag{8}$$ Наконец, это дает нам $$A_N=N\frac{\pi^{N/2}}{(N/2)!}r^{N-1}\to A_N\propto r^{N-1}\tag{9}$$ Почему мы использовали $$\int_{\infty}^{\infty}e^{-r^2}\mathrm{d}V\text{ ?}$$ Что ж, получается, что это становится $\sqrt{\pi}^N$, фактор, который, как мы знаем, возникнет при нахождении площади поверхности или объема любой сферы. Мы просто используем интегралы для вычисления этого фактора и остальной части коэффициента. $C_N$.

---

Гораздо более простое доказательство (которое попадает в точку!)

На самом деле это очень простой метод, но вы можете не сразу о нем подумать. Ответ Колина Пратта на Mathematics Stack Exchange дает хорошее 30-секундное введение в$N=3$кейс.

Сначала рассчитаем объем$N$-сфера. Мы можем сослаться на то, что мы сделали выше, и отметить, что объем области в$N$-мерное пространство можно найти

$$\int\cdots\int_V\mathrm{d}x_1\cdots\mathrm{d}x_N$$ Однако затем мы можем перевести это в гиперсферические координаты . Находим, что элемент объема равен $$\mathrm{d}V=r^{N-1}\left(\prod_{i=2}^{N-1}\sin^{N-i}(\phi_i)\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi_1\cdots\mathrm{d}\phi_{n-1}$$ Затем мы интегрируем это, чтобы найти объем сферы. Однако будьте осторожны при выборе границ.

Затем мы можем найти площадь поверхности через объем. Достаточно интересно,

$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=A$$ для всех размеров $N$. Тоже не случайно. Следовательно, зная объем, мы можем найти площадь поверхности.

Если вы предполагаете, что естественное состояние Вселенной состоит в том, чтобы все было собрано вместе в одной космической сингулярности, тогда вы можете переопределить гравитацию как «силу, которая не дает этому произойти», которая увеличивается с расстоянием от объекта.

Возьмите следующие утверждения:

1: Естественное состояние вселенной, если все находится в одном месте, и вселенная прикладывает силу, чтобы вызвать это. Это утверждение, которое следует принять.

2: Не все в одном месте, и все в покое.

3: Следовательно, есть сила, удерживающая все от того, чтобы быть в одном месте, которая уравновешивается всеобщим крахом. Мы знаем по опыту, что мы чувствуем эту силу слабее у поверхности планеты и сильнее по мере удаления от нее.

4: Таким образом, эта сила увеличивается обратно пропорционально квадрату расстояния от объекта.

Все дело в перспективе. К сожалению, эта конкретная точка зрения довольно надуманная, нелогичная и на самом деле не очень полезная, поскольку проще предположить, что естественное состояние Вселенной — это состояние покоя, а сила притягивает вещи, которая уменьшается пропорционально квадрату расстояния (так называемая гравитация). ). На данный момент применим отличный ответ HDE 226868 о природе сфер и потоков.

С другой стороны, если вы строите совершенно другую вселенную, жители этой вселенной не обязательно должны иметь такое же представление о том, что определяет простоту. Может быть, им проще предположить, что Вселенная постоянно пытается разрушиться. Кто знает?