Как будет выглядеть периодическая таблица четырехмерной вселенной?

В четырех измерениях у вас есть не ось вращения (фиксированная прямая линия), а плоскость вращения (фиксированная плоскость). Однако не каждое четырехмерное вращение имеет плоскость вращения; существуют вращения, не имеющие неподвижных точек (кроме начала координат). Действительно, вращения в 4-х измерениях имеют шесть параметров вместо трех, которые мы знаем из трехмерного пространства. Соответствующая группа вращения известна как$SO(4)$(в отличие от$SO(3)$для трехмерного пространства). Все об этом можно прочитать в Википедии.

Чтобы получить соответствующий квантовый спин, мы должны искать его универсальную накрывающую группу. Универсальное покрытие$SO(4)$является$S^3_L\times S^3_R$(см. связанную статью в Википедии), которая представляет собой двойную обложку$SO(4)$(прямо как в$SO(3)$кейс). Здесь$S^3$группа единичных кватернионов. Поскольку группа единичных кватернионов изоморфна$SU(2)$, это означает, что универсальное покрытие$SO(4)$изоморфен$SU(2)\times SU(2)$.

Это дает гораздо более богатую структуру спину 4-мерных частиц. В то время как в трех измерениях представление помечается одним числом (полным спином), четырехмерные частицы классифицируются двумя числами, которые можно назвать левым и правым спином, соответствующими левому и правому вращениям Клиффорда. .

Простейшая частица по-прежнему будет бесспиновой частицей со спином$(0,0)$. Однако низшие неспиновые частицы бывают двух видов: со спином$(1/2,0)$а также$(0,1/2)$. Каждый из них будет иметь только два уровня. Однако может случиться так, что между левым и правым спином существует дополнительная симметрия, и в этом случае эти два разных типа частиц действительно можно рассматривать как один тип частиц с четырьмя разными спиновыми состояниями. Однако в этом нет необходимости; вполне возможно, что частицы со спином$(1/2,0)$отличимы от частиц со спином$(0,1/2)$.

Однако давайте для простоты предположим, что такая симметрия действительно существует. И допустим, что электроны такие$\{1/2,0\}$частиц (используя фигурные скобки, чтобы подчеркнуть, что порядок больше не имеет значения, поскольку включены все порядки). Тогда вы действительно получили бы четыре электрона на уровень (игнорируя эффекты тонкой структуры).

Однако это было бы не единственным влиянием на периодическую таблицу: также орбитальный угловой момент электронов будет определяться двумя квантовыми числами; однако по аналогии с трехмерным случаем вы получите только фактические$SO(4)$представления (то есть целые квантовые числа). Таким образом, где вы получаете одну пару квантовых чисел$l$а также$m$для 3D вы получите два из них для 4D.

Итак, если предположить, что основное квантовое число не затронуто, вы получите следующие орбитальные квантовые числа:

(н; л1, м1; л2, м2; с1; с2)

Предполагая, что в ведущем порядке энергия по-прежнему доминирует$n$, и ограничения на$l$индивидуально, как в 3D (это можно было бы явно проверить, но это больше, чем я готов сделать это поздно ночью), поэтому вы получите следующие самые низкие вырождения для каждого$n$(поднятый тонкой структурой), определяемый как (левый угловой момент) × (правый угловой момент) × (спины):

• $n=1$: четырехкратное вырождение ($1\times 1\times 4$)
• $n=2$:$64$-кратное вырождение ($4\times 4\times 4$)
• $n=3$:$324$-кратное вырождение ($9\times 9\times 4$)

Обратите внимание, что когда первые три оболочки заполнены, мы уже находимся у элемента номер 392.

К сожалению, я недостаточно хорошо разбираюсь в ядерной физике, чтобы сказать, какими будут магические числа и до какого числа элементов ядра будут оставаться стабильными.

Заметьте также, что даже если вы предполагаете, что$(1/2,0)$-спиновые частицы и$(0,1/2)$-спиновые частицы неэквивалентны, а электроны, например,$(1/2,0)$частиц, это только сократило бы приведенные выше числа вдвое.

Редактировать: я заметил, что упустил самое важное различие в четырех измерениях: благодаря уравнению Максвелла.$\vec\nabla\cdot\vec E = \rho/\epsilon_0$мы получаем за точечный заряд в$d$измеряет поле, которое падает как$1/r^{d-1}$, и, следовательно, потенциал, который падает как$1/r^{d-2}$. Для четырех измерений это имеет далеко идущие последствия:

• В квантовой механике привлекательным$1/r^2$потенциал не имеет основного состояния. Теперь реальный потенциал будет отличаться от потенциала ядра, так как ядро ​​имеет конечный размер. Однако это означает, что положение основного состояния очень сильно зависит от распределения заряда ядра; в отличие от трех измерений приближение в виде точечного заряда не будет работать хорошо. Это означает, что периодическая таблица может быть весьма запутанной, поскольку распределение заряда зависит не только от количества протонов, но и от количества нейтронов (поскольку это число входит в размер). Это может вызвать заметные различия между атомами, которые отличаются только количеством нейтронов (и, следовательно, в нашем трехмерном мире будут иметь в основном одинаковые свойства).
• Так как центробежный потенциал также связан с$1/r^2$(но является отталкивающим) независимо от размера и, таким образом, в 4D будет иметь ту же форму, что и сила притяжения ядра, вне ядра любой угловой момент будет просто действовать как уменьшение заряда ядра. В частности, это означает, что существует максимальный угловой момент, который может быть достигнут до того, как электроны перестанут быть связанными.