Всякая ли непрерывная функция имеет порядок обращения в нуль?

Я пытаюсь понять, как мы можем охарактеризовать рост непрерывных функций вокруг точки. Один конкретный способ сделать это — сравнить рост функций со степенью$x$следующее.

Для непрерывной функции$f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$определить его порядок обращения в нуль (при$x=0$) быть числом$0\leq \alpha \leq \infty$такой, что

В случае для функции$f(x)$где$\frac{f(x)}{x^n} \to 0 \quad \forall n \in[0,\infty)$определить порядок исчезновения$f(x)$, а именно$\alpha$, быть$\infty$.

Например, с этими определениями$\alpha=\infty$когда$f(x)=\exp \left(-\frac{1}{x}\right)$как тогда$f(x)$будет расти медленнее, чем любая сила$x$вокруг$x=0$.

Мой вопрос : всегда ли существует порядок исчезновения для каждой непрерывной функции$f$на$[0,\infty)$? т.е. эта величина хорошо определена?

Если нет, то есть ли дополнительные условия, которые я должен оговорить$f$гарантировать существование?

Мои мысли по этому поводу следующие:

1. Если такой$\alpha$существует, он обязательно уникален, так как если$\beta<\alpha$затем

   $$\frac{f(x)}{x^\beta}=\frac{f(x)}{x^\alpha}\cdot x^{\alpha-\beta} \to 0$$ поскольку по предположению предел$\frac{f(x)}{x^\alpha}$конечно и не равно нулю. Следовательно$\beta$не может быть порядком исчезновения для$f$. Точно так же, если$\beta>\alpha$затем $$\frac{f(x)}{x^\beta}=\frac{f(x)}{x^\alpha}\cdot \frac{1}{x^{\beta-\alpha}} \to \pm \infty$$ снова,$\beta$не может быть порядком исчезновения$f$. Следовательно, если$\alpha$существует он уникален.

2. Мы не можем иметь$\frac{f(x)}{x^n}\to \pm \infty \quad \forall n \in [0,\infty)$Так как для$n=0$это будет означать$f(0)$не конечный.

3. Подозреваю существование такого$\alpha$может иметь топологическое доказательство, может быть, мы можем разделить область$\alpha \in [0,\infty)$на части$S$и$L$, т.е.$[0,\infty)=S \cup L$где

Возможно, это нарушает связь$[0,\infty)$?