Для симуляции я хочу вычислить путь, по которому проходит свет вблизи черной дыры.
С нерелятивистской точки зрения массивная точечная частица в центральном ньютоновском гравитационном поле следует либо по эллипсу, либо по параболе, либо по гиперболе. Верно ли то же самое относительно света вокруг черной дыры? Проблема, которую я вижу в этом, заключается в том, что в то время как частицы увеличивают скорость при приближении к черной дыре, фотон вместо этого получает энергию. Значит, фотоны ведут себя по-другому?
Да, фотоны ведут себя по-другому, что, я уверен, неудивительно! В любой выпускной книге по ОТО можно найти орбиты для метрики Шварцшильда. В моем экземпляре «Первого курса общей теории относительности» Бернарда Ф. Шютца орбиты вычисляются в главе 11. Исходя из этого, для фотонов орбита такова:
таким образом, вы получите эффективный центральный потенциал:
это составляющая четырех импульсов и постоянна. Для частиц первое уравнение даст вам но собственное время для фотона всегда равно нулю, поэтому используется аффинный параметр вместо этого, где определяется "=" . и являются координатами Шарвшильда, т.е. такими, какими их видит наблюдатель, находящийся в бесконечности.
Для массивных точечных частиц общая релятивистская траектория может сильно отличаться от классической. Классическая ньютоновская гравитация требует, чтобы траектория частицы задавалась коническим сечением: в частности, для убегающих орбит (гипербола или парабола) траектории в пространстве не могут самопересекаться. Если вы моделируете черную дыру (или действительно тяжелую звезду) с помощью метрики Шварцшильда, общая релятивистская картина позволяет частице прийти из бесконечности, сделать любое количество петель вокруг массивного тела, а затем улететь. Решения для геодезического/свободного движения намного сложнее, чем ньютоновская картина. (Вы можете увидеть несколько рисунков на стр. 215 этих конспектов лекций.. Другая картина, запрещенная в ньютоновской гравитации, — это картина асимптотической орбиты: частица может приближаться из бесконечности и постепенно переходить на неустойчивую круговую орбиту вокруг гравитирующего тела. В ньютоновской гравитации, если частица прилетает издалека, она должна двигаться по гиперболической или параболической орбите и улетать.
Для фотонов ситуация также отличается от случая с массивными частицами (предполагая фон, подобный Шварцшильду). В случае массивных частиц существуют как устойчивые, так и неустойчивые круговые орбиты вокруг гравитирующего тела. Для фотонов единственной связанной орбитой является единственная нестабильная орбита в так называемой «фотонной сфере». Помимо этих нестабильных круговых орбит, у фотонов нет других ограниченных траекторий. Однако могут существовать «рассеивающие» траектории, когда фотон приходит издалека, сколько угодно раз обходит вокруг звезды, а затем улетает, а также асимптотические траектории, когда фотоны приходят издалека и постепенно приближаются к звезде. круговая орбита в фотонсфере.
Флорин Андрей