Насколько близко должен подойти фотон к черной дыре, чтобы совершить полный оборот?

Движение фотона в пространстве-времени Шварцшильда описывается уравнением

$$\frac{1}{L^2} \dot{r}^2 + V _{\text{eff}} (r) = \frac{1}{b^2}\,,$$ где $$V _{\text{eff}}(r) = \frac{1}{r} \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) \qquad \text{and} \qquad b^2 = \frac{L^2}{e^2}$$ с $$e = \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) \dot{t} = \text{constant}$$ и где, наконец, все точки обозначают производные по произвольному параметру$\lambda$для траектории фотона и$L = r^2 \dot{\varphi}$- угловой момент фотона (который сохраняется из-за вращательной симметрии). Фиксированные номера$e$и$L$– интегралы движения, соответствующие$\partial_t$и$\partial_\varphi$Векторы убийства.

Количество$b$можно показать, что это прицельный параметр , расстояние между ЧД и асимптотической траекторией входящего фотона.

С учетом всего этого вопрос можно переформулировать так: какова ценность$b$так что полная вариация$\varphi$является$3 \pi$? ($1 \pi$будет соответствовать прямому ходу, это результат, который вы получите с$M=0$). Далее, насколько мало минимальное значение$r$на этой орбите?

Возможно, есть умное аналитическое решение задачи, но я просто решу ОДУ численно.

После некоторых манипуляций задачу можно переформулировать как

$$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} \varphi^2} = - u + 3 GM u^2,$$ где$u = 1/r$. В качестве начального условия здесь используется прицельный параметр: задача с начальным значением$u(0) = 0$(имеется в виду бесконечный радиус, конкретно для работы интеграции установлено небольшое число) и$u_\varphi (0) = 1/b$.

Радиусы для удобства выражаю в единицах$GM$.

ODE довольно «финник», в том смысле, что конфигурация, которую вы ищете, встречается только в очень определенном диапазоне для$b$, что (если я не напутал с интеграцией) около$b \approx 5.2GM$.

Это то, что требуется для полного цикла, но выполнение$n$петли не уведут вас далеко от этого значения$b$: вы приближаетесь только к критическому значению, когда фотон асимптотически приближается к фотонной сфере.

Для конкретного ответа на вопрос конфигурация дает$\Delta \varphi = 3\pi$кажется$b = 5.203GM$, а минимальный радиус, достигаемый орбитой, составляет около$3.09GM$(чуть выше фотонной сферы!).

Радиус Шварцшильда ,

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$

это естественная единица расстояния, используемая при обсуждении черных дыр. Удобно работать в подразделениях, где$r_s=1$.

Черная дыра Шварцшильда сферически симметрична, поэтому мы можем просто работать в горизонтальной плоскости и описывать траектории фотонов в терминах параметра расстояния Шварцшильда.$r$и азимутальный угол$\phi$. Уравнения упрощаются, если использовать параметр$u=\frac{r_s}r$.

Существует круговая орбита фотона точно$\frac32r_s$, называется фотонной сферой, но она нестабильна. Если фотон находится точно в фотонной сфере, он может вращаться там вечно... во вселенной, которая содержит только черную дыру и этот фотон. В противном случае малейшее возмущение вытолкнет фотон из фотонной сферы.

Мы можем описать траекторию фотона в терминах прицельного параметра,$b$, что является перпендикулярным расстоянием от центра черной дыры до асимптоты траектории. Другими словами,$b$— минимальное расстояние (в координатах Шварцшильда) от траектории фотона до центра черной дыры, если бы траектория не отклонялась под действием силы тяжести.

Критическое значение прицельного параметра равно

$$b_0 = \left(\frac{3\sqrt3}2\right)r_s$$

(Невозмущенный) фотон с таким прицельным параметром будет вечно вращаться в фотонной сфере.

Траектория фотона вблизи черной дыры полностью определяется его$b$и его первоначальный$r$(или$u$) и$\phi$.

Позволять

$$w=\frac{du}{d\phi}$$

Тогда из метрики Шварцшильда можно показать, что

$$w^2=\frac1{b^2}-u^2+u^3$$

Что$u^3$Это то, что отличает траекторию фотона в ОТО от того, что предсказала бы ньютоновская механика.

Дифференциация,

$$2w\frac{dw}{du}=-2u+3u^2$$ $$\frac{du}{d\phi}\frac{dw}{du}=-u+\frac32u^2$$ $$\frac{dw}{d\phi}=\frac32u^2-u$$

Фотон в фотонной сфере имеет постоянную$u$, так$w=\frac{dw}{d\phi}=0$. Поэтому на фотонной сфере от$\frac{dw}{d\phi}=0$мы получаем$\frac32u^2=u$, то есть,$u=\frac23$, и поэтому$r=\frac32r_s$, как отмечалось ранее. (Другое решение,$u=0$, соответствует фотону на бесконечности).

И из$w=0$мы получаем$\frac1{b^2}=u^2-u^3$. Замена в$u=\frac23$урожаи$b_0 = \left(\frac{3\sqrt3}2\right)r_s$.

Для$b \ne b_0$(и$b \ne 0$) это уравнение можно использовать для нахождения значения$u$где траектория максимально приближается к черной дыре. С точки зрения$r$,

$$b^2 = \frac{r^3}{r-1}$$ в единицах, где$r_s=1$. В других единицах, $$b^2 = \frac{r^3}{r-r_s}$$

Обратите внимание, что время было исключено из этих уравнений, они описывают только пространственную структуру траектории. Конечно, у фотона нет собственного времени, и Шварцшильд$t$параметр не очень интуитивно понятен вблизи черной дыры, даже при описании движения массивных частиц. Но FWIW,

$$\frac{d\phi}{dt}=bu^2(1-u)$$

---

Ранее в этом году в Nature’s Scientific Reports была опубликована отличная статья на эту тему Альберта Снеппена « Дивергентные отражения вокруг фотонной сферы черной дыры» . Снеппен вводит удобный параметр$\delta$, где$b=b_0+\delta$.

Если вы выстрелите фотоном в фотонную сферу, с$\delta>0$он выйдет из ЧД, если$\delta<0$фотон обречен пересечь горизонт событий. В любом случае, если$|\delta|$достаточно мала, фотон может совершить один или несколько оборотов вокруг черной дыры.

Снеппен нашел хорошую формулу, связывающую$\delta$число оборотов фотона. Если траектория с заданным$(u_0,\phi_0,\delta_0)$один раз вокруг ЧД, то траектория с$(u_0,\phi_0,\delta_0e^{-2\pi n})$почти идентичен, за исключением того, что он вращается вокруг ЧД$n+1$раз.

Вот несколько примеров, с$\phi_0=40°, r_0=\frac{b}{\sin{\phi_0}}$. Это значение является разумным приближением для этих диаграмм, но я действительно должен найти$r_0$путем интегрирования уравнений движения (используя$w$и$\frac{dw}{d\phi}$) от$\phi=0$к$\phi=\phi_0$.

я буду использовать$\delta_0=0.003349145847$потому что это дает хорошую симметричную траекторию для этого$\phi_0$.

Вот орбита спасения с 1 петлей, с$\delta=\delta_0$.

Вот орбита спасения с двумя петлями, с$\delta=\delta_0e^{-2\pi}$.

Вот орбита захвата 1 петли, с$\delta=-\delta_0$.

Вот орбита захвата с двумя петлями, с$\delta=-\delta_0e^{-2\pi}$.

Вот орбита с 1 петлей, которая возвращается в исходную точку с$\delta=0.0000133371604, \phi_0=90°$, с использованием$2880$шаги.

Горизонт событий черной дыры — серый кружок радиуса 1, фотонная сфера — зеленоватый кружок радиуса 1,5. Пунктирная горизонтальная линия в верхней части диаграмм — это асимптота траектории фотона для орбиты фотонной сферы (т. е. фотон запускается горизонтально, из бесконечности), поэтому его расстояние до центра ЧД равно$b_0$.

Можно строить траектории с большим количеством петель, но очень трудно увидеть разницу между графиком с двумя петлями и графиком с большим количеством петель.

---

Если вы хотите поэкспериментировать с этими траекториями фотонов (например, посмотреть, что происходит с нечетными кратными$\pi$), вот живая версия скрипта Sage/Python, который я использовал для создания этих графиков, работающий на сервере SageMathCell. Программа вычисляет траектории, используя версию Yoshida 4-го порядка интеграции Leapfrog .

Вот краткое описание элементов управления вводом скрипта.

deltaи phi_0соответствуют$\delta$и$\phi_0$. Программа использует$r_0=\frac{b}{\sin{\phi_0}}$, поэтому начальная$y$координата равна$b$и фотон запускается (почти) горизонтально по направлению к ЧД, изначально (почти) параллельно пунктирной линии, установленной в точке$y=b_0$. Все углы должны быть введены в градусах.

Параметр angleговорит, как далеко вы хотите построить траекторию. Итак, если phi_0это 40, а angleэто 320, траектория останавливается на 360 градусах по оси X. Он может быть остановлен раньше, если попадет в ЧД или его радиус превысит начальный радиус.

maxstepsопределяет точность интегрирования. Для небольших дельт вам понадобится большой maxsteps. Наиболее эффективно удваивать (или уменьшать вдвое) maxsteps. Для очень маленьких$|\delta|$, вычисления будут терять точность даже при больших maxstepsиз-за ошибок с плавающей запятой.

Флажок doubleговорит о вычислении 2 траекторий для заданных delta, phi_0и angle. Синяя траектория использует удвоенный размер шага по сравнению с красной траекторией. Когда две траектории совпадают, они точны. Программа может оценить ошибку окончательного вычисленного радиуса по двум траекториям (при условии, что траектории останавливаются под одним и тем же конечным углом).

Выберите dots, чтобы получить точку для каждой вычисленной точки. Точки, расположенные слишком близко к предыдущей точке, не отображаются. Выберите curve, чтобы построить траекторию с использованием кубических кривых Безье (вычисленная$w$значения используются для определения контрольных точек Безье).

Выберите svg, чтобы представить диаграмму как векторную графику SVG (а не как PNG). Эта опция также делает SVG доступным по ссылке.

sizeконтролирует размер диаграммы.

Программа использует кеш размером 4, поэтому, если вы удвоите количество шагов, она может заменить предыдущую красную траекторию новой синей. (И наоборот, если сократить вдвое maxsteps). И если вы просто вносите косметические изменения, т. е. меняете точки, кривую, svg или размер, он может использовать кешированные траектории.

Поля числового ввода принимают выражения в синтаксисе Sage/Python, поэтому (например) вы можете ввести 1/50*exp(-2*pi)в deltaполе или 100 + 360*2в angle, или 90 * 2^10в maxsteps. Вы можете использовать константу d2rдля преобразования радианов в градусы, например 3*pi/d2r. Sage имеет множество встроенных функций, так что не стесняйтесь экспериментировать или сверяйтесь с документацией .