Вычислить limn→∞n2+2n------√-[n2+2n------√]limn→∞n2+2n-[n2+2n]\lim_{n \to \infty} \sqrt {n^2+2n}-\влево[\sqrt{n^2+2n}\вправо]

Question

Экавира Гурибхатла

Оценивать

\underset{н \to \infty}{лим} \sqrt{н^{2} + 2 н} - [\sqrt{н^{2} + 2 н}]

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+2n}-\left[\sqrt{n^2+2n}\right]$

где $[.]$ функция наибольшего целого числа

Моя попытка:

У нас есть

л "=" \underset{н \to \infty}{лим} {\sqrt{н^{2} + 2 н}}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{\sqrt{n^2+2n} \right\}$ где

{.}

$\left\{.\right\}$ обозначает дробную часть

x

$x$

у нас есть

л "=" \underset{н \to \infty}{лим} {н (\sqrt{1 + \frac{2}{н}})}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{n \left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}\right)\right\}$

Теперь у нас есть

(\sqrt{1 + \frac{2}{н}}) "=" 1 + \frac{1}{н} - \frac{1}{2 н^{2}}

$\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}\right)=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}$

Следовательно

л "=" \underset{н \to \infty}{лим} {н + \frac{н}{н} - \frac{1}{2 н}}

$L=\lim_{n \to \infty} \left\{n+\frac{n}{n}-\frac{1}{2n}\right\}$ Так

л "=" \underset{н \to \infty}{лим} 1 - \frac{1}{2 н} "=" 1

$L=\lim_{n \to \infty} 1-\frac{1}{2n}=1$

Это правильный подход?

ДСТ · Answer 1

н^{2} < н^{2} + 2 н < н^{2} + 2 н + 1

$n^2<n^2+2n<n^2+2n+1$

н < \sqrt{н^{2} + 2 н} < (н + 1)

$n<\sqrt{n^2+2n}<(n+1)$

Так $\lfloor \sqrt{n^2+2n}\rfloor =n$

Итак, мы должны вычислить

\underset{н \to \infty}{лим} (\sqrt{н^{2} + 2 н} - н)

$\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(\sqrt{n^2+2n}-n\bigg)$

Почему этот путь неверен: $\lfloor \sqrt{n^2+2n}\rfloor = x , \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+2n}-\left[\sqrt{n^2+2n}\right] = \lim_{x \to \infty} x - \lfloor x \rfloor$ так что предела не существует.
@SHW: Из вопроса ясно, что $n$ диапазоны положительных целых чисел, а не положительных действительных чисел, и это имеет значение в этом вопросе. Ваш комментарий предполагает $n$ колеблется в пределах положительных реалов.
@RoryDaulton О, ты прав. Я получил спасибо .