Выполняется ли уравнение неопределенности Гейзенберга, когда одна из наблюдаемых имеет нулевую дисперсию?

Из этой ссылки Принцип неопределенности Гейзенберга говорит:

Ясно, когда Δ п Икс сжимается, Δ Икс должно расти все больше и больше, чтобы удовлетворить неравенство Гейзенберга. Например, плоская волна ψ ( Икс ) "=" опыт ⁡ [ 2 π я п Икс / час ] является собственной функцией п "=" − я час / ( 2 π )   г / г Икс , так что Δ п Икс "=" 0 ; частица плоской волны имеет положение Икс что совершенно не определено. И наоборот, если положение частицы очень хорошо определено, ее импульс очень неопределен. p-разложение (преобразование Фурье) хорошо локализованного волнового пакета ( Δ Икс ≈ 0 ) требует собственных состояний многих различных собственных значений п и, следовательно, приводит к большому разбросу в п .

таким образом, одна из дисперсий в левой части этого уравнения может быть равна нулю (мои расчеты относительно измерения спина в другом базисе также подразумевают, что один из эрмитовых операторов может иметь нулевую дисперсию), это уравнение принимает вид 0 ≥ час / 4 π что явно неправильно. Означает ли это, что неравенство не работает для нулевой дисперсии?

Обратите внимание, что мы используем MathJax для набора математики; Вы можете найти хороший учебник здесь .

Ответы (3)

Для случаев, которые вы упомянули (собственные состояния импульса плоской волны и собственные состояния положения Дирака-дельта), одна из дисперсий положения/импульса равна нулю, а другая бесконечна, поэтому неравенство Гейзенберга формально читается

Δ п Δ Икс "=" 0 × ∞ ≥ час 4 π .
(В качестве очевидного примечания: случайное игнорирование бесконечностей в ваших вычислениях только потому, что вы не знаете, что с ними делать, очевидно, путь к неприятностям.)

Это следует смягчить тем, что это не физические состояния (невозможно иметь настоящую плоскую волну, занимающую все пространство, и невозможно локализовать частицу с бесконечной точностью), и они не попадают в класс волновых функций (т. е. гильбертово пространство), где неравенство Гейзенберга является теоремой. Для этих состояний неравенство следует понимать как предел:

Δ п ≥ 1 Δ Икс час 4 π → ∞ как Δ Икс → 0.

Нулевая дисперсия означает, что система находится в собственном состоянии соответствующих операторов. Например, если мы измеряем собственное состояние с определенным импульсом,

ψ п ( Икс ) "=" е я п Икс ℏ ,
Плотность вероятности постоянна в пространстве
| ψ п ( Икс ) | 2 "=" с о н с т ,
что означает, что положение частицы совершенно неопределенно. (Математическая неоднозначность здесь обычно разрешается путем принятия периодических граничных условий в областях [ − л / 2 , л / 2 ] , так что ψ п ( Икс ) "=" е я п Икс ℏ / л , и | ψ п ( Икс ) | 2 "=" 1 / л , т. е. однородно везде в регионе.)

С точки зрения соотношения неопределенностей положения и импульса имеем

Δ Икс ≥ ℏ 2 Δ п → + ∞  как  Δ п → 0 .

Вывод неравенства выполняется при двух условиях: операторы самосопряжены И состояния, на которые они действуют, нормализуемы.

Плоские волны не нормируются. Для ситуации, когда операторы не являются самосопряженными, см. этот вопрос .

В противном случае неравенство является герметичным и работает все время, в том числе для 0 -дисперсия. Действительно, в конкретном примере углового момента можно использовать Δ л Икс Δ л у ≥ 1 2 | ⟨ л г ⟩ | и циклические перестановки, чтобы показать, что собственные состояния л Икс обязательно иметь 0 среднее значение л у или л г .

Выполняется ли уравнение неопределенности Гейзенберга, когда одна из наблюдаемых имеет нулевую дисперсию?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v