Вывод Фейнмана уравнения Шрёдингера. Потенциальная пространственная зависимость

Я работаю над книгой «Квантовая механика и интегралы по траекториям» Фейнмана и Хиббса. При нахождении соответствия уравнению Шредингера он принимает

$$\eqalign{&\psi(x,t+\epsilon) = {}\cr &\int_{-\infty}^{\infty} \!\!\exp\left\{\frac{i\,\epsilon}{\hbar} L\left(\frac{x + y}{2},\frac{x - y} {\epsilon}\right) \right\}\, \psi(y,t)\,\frac{\mathrm{d}y}{A(\epsilon)}\cr}$$

Делая лагранжиан явно как$L = m\dot{x}^2/2 - V(x,t)$, и делаем замену$y = x + \eta$он дает

$$\eqalign{ &\psi(x,t+\epsilon) = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \cr &\qquad\exp\left\{ -\frac{i\, \epsilon}{\hbar} V\left( x+ \frac{\eta}{2}, t \right) \right\} \psi(x +\eta, t) \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}\cr}$$

Теперь первая экспонента меняется очень быстро, и он говорит, что большая часть интеграла будет вноситься$\eta$в порядке от 0 до$\sqrt{2\hbar \epsilon/m}$. Для небольшого$\eta$теперь он может расширить вторую экспоненту, а также$\psi$

$$\eqalign{ &\psi(x,t) + \epsilon\, \frac{\partial \psi}{\partial t} = {}\cr &\quad\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \left[1 -\frac{i\, \epsilon}{\hbar} V \left( x, t \right)\right] \cr &\qquad\left[\psi(x,t) + \eta \frac{\partial \psi}{\partial x} +\frac{\eta^2}{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right] \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}\cr}$$

Здесь он заменяет$\epsilon V(x +\frac{\eta}{2},t)$для$\epsilon V(x,t)$говоря, что ошибка имеет более высокий порядок, чем$\epsilon$.

Моя проблема в том, что расширение$V(x +\frac{\eta}{2},t)$будет срок заказа$\eta$, что при умножении на$\eta \frac{\partial \psi}{\partial x}$дали бы срок заказа$\eta^2$и его интегрирование будет ненулевым. Условия заказа$\eta^2$не пренебрегают, так как это происходит со второй производной от$\psi$сохраняется. Тогда проблемный термин

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \frac{i\, \epsilon \, \eta^2}{\hbar} \left. \frac{\partial V}{\partial (x + \eta/2)} \right|_{(x,t)} \frac{\partial \psi}{\partial x} \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}$$

Я думаю, что проблема может заключаться в том, что я неправильно работаю с серией Тейлора.

Спасибо за помощь.