Когда свет достигает оболочечного наблюдателя в метрике Шварцшильда?

Question

Когда свет достигает оболочечного наблюдателя в метрике Шварцшильда?

Трихуиппи

Я пытаюсь смоделировать траекторию света в метрике Шварцшильда (как ее видит далекий наблюдатель) с фиксированным $\theta = \pi/2$ . Согласно моему источнику (глава 18, раздел 18.5), траектория определяется:

\frac{г р}{г т} "=" \dot{р}

$\frac{dr}{dt} = \dot{r}$

\frac{г ф}{г т} "=" \dot{ф}

$\frac{d\phi}{dt} = \dot{\phi}$

\frac{г \dot{р}}{г т} "=" \frac{- 4 М^{2} + 2 М р + (р - 5 М) р^{3} {\dot{ф}}^{2}}{р^{3}}

$\frac{d\dot{r}}{dt} = \frac{-4M^2+2Mr+(r-5M)r^3\dot{\phi}^2}{r^3}$

\frac{г \dot{ф}}{г т} "=" \frac{2 (- 3 М + р) \dot{р} \dot{ф}}{(2 М - р) р}

$\frac{d\dot{\phi}}{dt} = \frac{2(-3M+r)\dot{r}\dot{\phi}}{(2M-r)r}$

У меня есть ситуация, когда наблюдатель оболочки сидит в $(r_T, \phi_T)$ и я знаю это $r(0) = r_0$ , $\phi(0) = \phi_0$ , $r(T) = r_T$ , $\phi(T) = \phi_T$ где $r_0$ , $r_T$ , $\phi_0$ и $\phi_T$ известны, но $T$ неизвестно. Мне кажется, что мне нужно дополнительное ограничение, чтобы выяснить $T$ так как у меня есть 4 уравнения (те, что выше), но 5 неизвестных ( $r(t), \dot{r}(t), \phi(t), \dot{\phi}(t), T$ ).

Нужно ли мне дополнительное ограничение, чтобы выяснить $T$ и что это будет за ограничение?

Ответы (1)

Когда свет достигает оболочечного наблюдателя в метрике Шварцшильда?

Джон Ренни · Answer 1

То, как представлены уравнения, кажется излишне неясным, поскольку имеют значение только два уравнения:

\frac{г^{2} р}{г т^{2}} "=" \frac{- 4 М^{2} + 2 М р + (р - 5 М) р^{3}}{р^{3}} {\dot{ф}}^{2}

$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{-4M^2+2Mr+(r-5M)r^3}{r^3}\,\dot{\phi}^2$

\frac{г^{2} ф}{г т^{2}} "=" \frac{2 (- 3 М + р)}{(2 М - р) р} \dot{р} \dot{ф}

$\frac{d^2\phi}{dt^2} = \frac{2(-3M+r)}{(2M-r)r} \, \dot{r}\dot{\phi}$

Они исходят из геодезического уравнения, выраженного с помощью координатного времени .

Итак, вы начинаете с какого-то удобного $(r, \phi)$ с начальной координатной скоростью $(\dot{r}, \dot{\phi})$ и интегрировать вперед во времени, чтобы вычислить $r$ , $\phi$ , $\dot{r}$ и $\dot{\phi}$ как функция координатного времени $t$ .

Вы можете выбрать любые начальные значения для $r$ , $\phi$ , $\dot{r}$ и $\dot{\phi}$ Вы хотите, но очевидно $\dot{r}$ и $\dot{\phi}$ связаны, потому что вы описываете световой луч. Связь исходит из метрики Шварцшильда. Для светового луча $ds = 0$ , и мы можем взять $\theta = \pi/2$ и $d\theta = 0$ , поэтому получаем:

0 "=" - (1 - \frac{2 М}{р}) г т^{2} + \frac{г р^{2}}{(1 - \frac{2 М}{р})} + р^{2} г ф^{2}

$0 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)} + r^2d\phi^2$

или:

(1 - \frac{2 М}{р}) "=" \frac{{\dot{р}}^{2}}{(1 - \frac{2 М}{р})} + р^{2} {\dot{ф}}^{2}

$\left(1-\frac{2M}{r}\right) = \frac{\dot{r}^2}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)} + r^2\dot{\phi}^2$

Когда свет достигает оболочечного наблюдателя в метрике Шварцшильда?

Трихуиппи

Ответы (1)

Джон Ренни

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Как найти нулевую геодезическую?

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Насколько близко наблюдатель может приблизиться к черной дыре при пролете без двигателя, не упав в нее?

Доказательство: Ω=GM−−−−√r−3/2Ω=GMr−3/2\Omega =\sqrt{GM}r^{-3/2} для пространства-времени Шварцшильда

Уравнения геодезических по вариационному принципу

"WLOG" о геодезических исследованиях Шварцшильда

Трассировка лучей в общей теории относительности

Геодезическое уравнение Эйлера - Лагранжа

Геодезические уравнения