Является ли увеличение энтропии теоремой?

Рассмотрим изолированную систему$N$частиц, движение которых определяется ньютоновской механикой, с течением времени, простирающимся от$-\infty$к$+\infty$. Система изолирована, поэтому единственными движущими силами являются частицы парного взаимодействия, которые считаются недиссипативными. Следовательно, энергия, импульс и угловой момент сохраняются. Номер$N$частиц очень и очень большой.

Рассмотрим больцмановскую энтропию$S(t) = k \log \Omega(t)$, микросостояния, в котором система находится в момент$t$. Здесь,$\Omega(t)$это количество микросостояний, которые соответствуют макросостоянию, в котором система находится в данный момент времени.$t$. Обратите внимание, что динамика системы детерминирована. Следовательно, при некоторых начальных условиях функция$S(t)$является полностью детерминированным.

Тогда я ожидаю, что существует какая-то теорема, которая утверждает, что для подавляющего большинства начальных условий выполняется следующее неравенство:

в частности, я ожидал бы, что доля начальных условий, для которых выполняется такое неравенство, будет стремиться к 1, поскольку$N \rightarrow \infty$. Такая теорема подразумевала бы, что необратимые процессы возникают из обратимой микроскопической динамики .

Однако после поиска во всех возможных учебниках, которые я мог достать, я не нашел такой теоремы.

Вернее, я нашел следующее:

1. Для достаточно большого числа частиц чрезвычайно большое количество микросостояний отображается в так называемое равновесное состояние. Доказано, что такое макросостояние соответствует максимально возможному значению энтропии S. Поэтому, объединяя это с эргодической гипотезой, я заключаю, что система будет проводить чрезвычайно большую часть своего времени в состоянии as с максимальной энтропией ( до незначительных колебаний). Однако это не доказывает, что неравенство$dS/dt > 0, \forall t \in (-\infty, \infty)$. справедливо для чрезвычайно большой доли начальных условий.

2. Я нашел простую систему, в которой показано, что если я начну с состояния с низкой энтропией, система перейдет в состояние с более высокой энтропией с чрезвычайно высокой вероятностью (порядка$1-10^{10^{20}}$). Самый классический пример — коробка, содержащая$N$шары, которые в определенное время$t$все шары находятся в одной половине коробки (низкая энтропия). Легко доказать, что через некоторое время все шары займут весь объем ящика (высокая энтропия), а значит, будут оставаться чрезвычайно долго (порядка$10^{10^{20}}$

Однако если я возьму тот же самый набор начальных условий с низкой энтропией и позволю системе эволюционировать назад во времени , я обнаружу, что с чрезвычайно высокой вероятностью система находилась в состоянии с высокой энтропией в прошлом. Другими словами, я не вижу макроскопической необратимости, вытекающей из микроскопической обратимости.

Можно рассмотреть ситуацию, в которой барьер заставляет шары оставаться в левой половине коробки и на$t = 0$барьер волшебным образом исчезает. Это правда, что если барьер снова появляется в случайное последующее мгновение, вероятность того, что все шары снова окажутся в той же половине ящика, чрезвычайно мала. Однако такая система не является изолированной , для ее удаления или добавления барьера требуется внешний оператор. Даже если при исчезновении/появлении барьера не совершается никакой работы, исчезновение/появление барьера не вызывается движением шаров.

Тогда мой вопрос: как можно вывести закон возрастания энтропии из первых принципов?