Так что у меня большая путаница с QM применительно к твердотельному состоянию. Ниже приводится краткое изложение того, что я знаю, что я думаю, что знаю, и что я знаю, чего не знаю. Я надеюсь разжечь дискуссию, которая поможет пользователям QM, но не экспертам, таким как я, в будущем.
Теорема Блоха — это утверждение о симметрии, если вы находитесь в идеальной решетке (бесконечной, без дефектов, ноль K). Из-за природы этой симметрии волновая функция должна иметь периодическую природу (часть exp (ik)). Это нормально и в целом неудивительно (хотя и очень элегантно).
Здесь мы можем говорить о пространстве, которые являются просто гармониками кристаллической решетки. Мы можем говорить о том, сколько электронов/дырок они могут содержать и т.д. Мы называем -пространство "импульс" пространство, потому что преобразование Фурье оператора положения является оператором импульса. Физически, пространства являются модами колебаний решетки. Эти моды кристаллической решетки называются фононами.
Но кристалл не бесконечен, температура не равна 0, решетка не бездефектна.
Скажем, у меня есть наночастица из нескольких тысяч атомов, более или менее размещенных в соответствии с решеткой (которая не обязательно должна быть объемной решеткой, т.е. это может быть решетка квазикристалла). Будут «дефекты», поверхностная деформация, поверхностная энергия, возможно, граница зерен, а форма частицы будет постоянно меняться (отличаться от нуля). ). Все это «несовершенства», нарушающие предположения теоремы Блоха.
Теперь теорема Блоха неприменима, но почему-то мы все равно хотим ее использовать, потому что внутри кластера есть некоторая периодичность, по крайней мере локально. Одновременно мы хотели бы позаимствовать наш аналитический ответ на атом H (орбитали s, p, d, f).
И тут я вообще перестаю что-либо понимать. Введено новое понятие, которое представляет собой частичную/проекционную плотность состояния (pdos). Но что представляет pdos, т.е. что такое пространство? Что они подразумевают под «частичным», что они проецируют, когда говорят о «проецированном»? Почему и как они определяют орбитали f, d, ect? Как читаются эти графики?
Все это, и мы еще не начали говорить о спине!
Теорема Блоха
Что ж, вы совершенно правы: почти каждое допущение теоремы Блоха нарушается даже в простейшей физической системе — не было и никогда не будет кристалла, удовлетворяющего этим допущениям. Тем не менее, он дает достойные результаты. Давайте рассмотрим одно сомнение за другим:
Размер : Это так просто: чем больше кристалл, тем лучше результат, который вы получите с Bloch. Я думаю, вполне можно себе представить, что волновая функция электрона, находящегося в середине кристалла, на 99,9999% соответствует волновой функции, предсказываемой теоремой Блоха, тогда как электрон на поверхности — нет. Но с увеличением размера вы получаете уменьшение отношения поверхности к объему. Это означает, что если вы используете теорему Блоха, процент волновых функций, которые вы получаете правильно, стремится все больше и больше к 100%. Кристаллы, используемые для не-нано измерений, почти всегда удовлетворяют этому условию, поэтому, если теорема Блоха является хорошим приближением для 99,9% волновых функций, почему бы не использовать ее? Граница, на которой теорема считается хорошей или плохой, не может быть хорошо квантована.
Температура : включение движения атомов и движения электронов в один шаг сложно. Вот почему и то, и другое склонны отделять друг от друга (см. Приближение Борна-Оппенгеймера ), так что на первом этапе расчетов часто предполагается, что атомы покоятся, а электроны движутся (конечно, только если вас не интересуют фононные свойства). . Это позволяет применить к задаче теорему Блоха. Опыт показывает, что это работает, и в большинстве случаев вы можете включить электронно-фононные эффекты впоследствии. Итак, вот ответ, почему мы используем теорему Блоха: потому что она, тем не менее, работает (как приближение).
Примеси : количество примесей часто очень мало по сравнению с количеством правильно выровненных атомов. Следовательно, опять же, теорема Блоха является хорошей аппроксимацией.
Частичная плотность состояний
Немного сложно понять ваш вопрос, потому что концепция частичной DOS не обязательно требует теоремы Блоха.
Предположим, мы смотрим на определенную энергию в полной DOS. Энергия имеет соответствующую волновую функцию в кристалле. Теперь вы можете посмотреть или математически проанализировать результирующую волновую функцию и ее симметрию. Волновую функцию можно аппроксимировать волновыми функциями уже известных нам s,p,d,f,... -подобных функций. Итак, если у нас есть, например. (в эвристических обозначениях) волновая функция, которая хорошо аппроксимируется функцией 0,8 * s-подобной + 0,1 * p-образной + ... вы можете присвоить энергии в DOS 80% s-характер и 10% p- характер и так далее. Поскольку s,p,...-подобные функции изначально являются функциями вокруг одного атома, s,p,...-подобную функцию в объеме следует понимать как усредненную по каждому участвующему атому в элементарной ячейке.
Это может быть перенесено в s-DOS, p-DOS и т. д. (это «проекция» на s, p,...-состояния), которые, конечно, составляют полную DOS.
По моему мнению, лучший способ понять теорему Блоха — это разобраться в математике.
Во-первых, мы просто рассматриваем совершенную решетку с некоторой периодичностью, которая может быть описана некоторой обратной решеткой. Тогда из периодичности решетки (давайте просто рассмотрим одномерную цепочку с периодичностью L) имеем коммутаторное соотношение .
Для конечного кристалла, используя периодическое граничное условие и трансляцию с помощью L-операции, мы можем получить теорему Блоха, которая сообщает форму собственной функции энергии в этом кристалле для электрона (обратите внимание, что мы также принимаем одноэлектронное приближение ).
Чтобы понять, как теорему Блоха можно применить к реальной ситуации, просто подумайте о теории возмущений — построив несколько моделей и добавив эти члены возмущения, мы можем получить хорошее приближение к ситуации.
пользователь16035
пользователь16035
ЛеФитц