Закон дисперсии волнового пакета из уравнения Шредингера

Question

Закон дисперсии волнового пакета из уравнения Шредингера

elduge

У меня вопрос относительно вывода дисперсионного соотношения волнового пакета из уравнения Шредингера.

Волновой пакет определяется выражением

ψ (Икс, т) "=" \int_{- \infty}^{\infty} \frac{д к}{2 π} ф (к) е^{я (к Икс - ю (к) т)}

$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{2\pi}\,\phi(k)\,e^{i(kx-\omega(k)t)}$

где $\phi(k)$ является преобразованием Фурье $\psi(x,t=0)$

ф (к) "=" \int_{- \infty}^{\infty} д Икс ψ (Икс, 0) е^{- я к Икс},

$\phi(k)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\psi(x,0)\,e^{-ikx},$

то есть $\phi(k)=|\phi(k)|\,e^{i\,\varphi(k)}$ с $\varphi(k) \in \mathbb{R}$ в общем.

Подстановка общей формы волнового пакета в нестационарное уравнение Шредингера

[я ℏ \partial_{т} + ℏ^{2} \frac{\nabla^{2}}{2 м}] ψ (Икс, т) "=" 0

$\left[i\hbar \partial_t+\hbar^2\frac{\nabla^2}{2m}\right]\psi(x,t)=0$

таким образом дает

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{д к}{2 π} ф (к) [ℏ ю (к) - ℏ^{2} \frac{к^{2}}{2 м}] е^{я (к Икс - ю (к) т)} "=" 0.

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{2\pi}\,\phi(k)\,\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right]\,e^{i(kx-\omega(k)t)}=0.$

Мой вопрос:

В чем причина того, что $\omega(k)=\frac{\hbar\,k^2}{2m}$ при условии $\phi(k) \in \mathbb{C}$ , т.е. $\phi(k)\ngtr 0$ и $e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ ? С тех пор исчезающий интеграл не может дать исчезающее интегральное ядро.

Спасибо заранее!

elduge

@AccidentalFourierTransform Спасибо за редактирование, но я действительно хотел сказать

ϕ (k) ≯ 0

$\phi(k)\ngtr 0$ и

e^{i (k x - ω (k) t)} ≯ 0

$e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ (или эквивалентно

ϕ (k) ≮ 0

$\phi(k)\nless 0$ и

e^{i (k x - ω (k) t)} ≮ 0

$e^{i(kx-\omega(k)t)}\nless 0$ ), так как существует возможность пересечения нуля. Следовательно, нельзя сделать вывод, что

[ℏ ω (k) - ℏ^{2} \frac{k^{2}}{2 m}] = 0

$\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right] =0$ .

СлучайныйПреобразование Фурье

О, тогда извините! Но в любом случае, что делает

>

$>$ и

<

$<$ значит здесь? Нет (всего) заказа на

C

$\mathbb C$ .

свободный

Что вы имеете в виду под символами

≯

$\ngtr$ (не более) и

≮

$\nless$ (не менее) в контексте комплексных чисел?

elduge

@AccidentalFourierTransform Извините за путаницу и небрежность в написании! Я действительно имел в виду, что, поскольку в

C

$\mathbb{C}$ нельзя утверждать, что какая-либо функция положительна или отрицательна. На самом деле это был мой вопрос: как можно вывести дисперсионное соотношение, если нельзя сделать утверждение о подынтегральных выражениях?

elduge

@freecharly Мое текущее понимание состоит в том, что требуется, чтобы уравнение Шредингера выполнялось для каждого

ϕ (k) \in C

$\phi(k) \in \mathbb{C}$ и для каждого

ω (k)

$\omega(k)$ и

k

$k$ так что внутренняя скобка под интегралом должна быть тождественно равна нулю.

свободный

@elduge - Ты прав. Интеграл Фурье волнового пакета представляет его синусоидальными волновыми компонентами

ϕ (k) e x p i (k x - ω t)

$\phi (k) expi(kx-\omega t)$ . Как вы можете видеть из подынтегральной функции вашего последнего уравнения, соотношение дисперсии должно выполняться для любой неисчезающей амплитуды синусоидальной волны

ϕ (k)

$\phi(k)$ .

Ответы (1)

Закон дисперсии волнового пакета из уравнения Шредингера

@AccidentalFourierTransform Спасибо за редактирование, но я действительно хотел сказать $\phi(k)\ngtr 0$ и $e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ (или эквивалентно $\phi(k)\nless 0$ и $e^{i(kx-\omega(k)t)}\nless 0$ ), так как существует возможность пересечения нуля. Следовательно, нельзя сделать вывод, что $\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right] =0$ .
О, тогда извините! Но в любом случае, что делает $>$ и $<$ значит здесь? Нет (всего) заказа на $\mathbb C$ .
Что вы имеете в виду под символами $\ngtr$ (не более) и $\nless$ (не менее) в контексте комплексных чисел?
@AccidentalFourierTransform Извините за путаницу и небрежность в написании! Я действительно имел в виду, что, поскольку в $\mathbb{C}$ нельзя утверждать, что какая-либо функция положительна или отрицательна. На самом деле это был мой вопрос: как можно вывести дисперсионное соотношение, если нельзя сделать утверждение о подынтегральных выражениях?
@freecharly Мое текущее понимание состоит в том, что требуется, чтобы уравнение Шредингера выполнялось для каждого $\phi(k) \in \mathbb{C}$ и для каждого $\omega(k)$ и $k$ так что внутренняя скобка под интегралом должна быть тождественно равна нулю.
@elduge - Ты прав. Интеграл Фурье волнового пакета представляет его синусоидальными волновыми компонентами $\phi (k) expi(kx-\omega t)$ . Как вы можете видеть из подынтегральной функции вашего последнего уравнения, соотношение дисперсии должно выполняться для любой неисчезающей амплитуды синусоидальной волны $\phi(k)$ .

свободный · Answer 1

Специального дисперсионного уравнения для волнового пакета не существует. Дисперсионное уравнение

\begin{matrix} (1) & ю (к) "=" \frac{ℏ к^{2}}{2 м} \end{matrix}

$\omega (k)=\frac {\hbar k^2}{2m} \tag 1$ уравнения Шрёдингера для частицы с постоянной (нулевой) потенциальной энергией выполняется для плоских волновых решений

\begin{matrix} (2) & ψ "=" ψ_{0} опыт я (\vec{к} \cdot \vec{р} - ю т) \end{matrix}

$\psi=\psi_0 \exp i(\vec k·\vec r-\omega t) \tag 2$ Волновой пакет состоит из суперпозиции таких плоских волн.

Почему для волнового пакета нет закона дисперсии? Разве его не должно быть, если частица квантово-механически описывается волновым пакетом? Например, в Википедии утверждается, что он существует.
Дисперсионные соотношения дают функциональное соотношение $\omega=f(k)$ между частотой $\omega$ (или энергия $E=\hbar \omega)$ и волновой вектор (импульс $p=\hbar k)$ синусоидальной волны. С точки зрения квантовой механики это означает, что синусоидальная волна является собственной функцией как оператора энергии, так и оператора импульса, и, таким образом, и энергия, и импульс частицы точно известны, а положение полностью неопределенно. Волновой пакет не является (одновременной) собственной функцией оператора энергии и импульса, и поэтому энергия и импульс частицы точно не определены.
@elduge - По указанной ссылке Википедия не дает дисперсионного соотношения для волнового пакета. Закон дисперсии здесь соответствует уравнению (1) и снова является соотношением между частотой и волновым вектором синусоидальной волны.
Извините, но я не могу понять ваши рассуждения. Даже для волнового пакета операторы энергии и импульса имеют одни и те же собственные функции при постоянном потенциале, поскольку $\left[\hat{P},\hat{H}\right] = \left[\hat{P},\hat{V}\right]$ . Следовательно, должна быть возможность их одновременного измерения и должно существовать дисперсионное соотношение для волнового пакета. Или мои рассуждения неверны?
С другой стороны, не должно ли иметь место дисперсионное соотношение для волнового пакета с непостоянной фазовой скоростью, если он расплывается во времени, т.е. рассеивается ?
@elduge - Волновой пакет, вообще говоря, не является собственной функцией оператора энергии и импульса. Для энергии и импульса вы получаете ожидаемые значения и конечные неопределенности. Компоненты Фурье $\phi(k) expi(kx-\omega t)$ являются собственными функциями оператора энергии и импульса. Волновой пакет состоит из множества синусоид с разными частотами и волновыми векторами.
@elduge - Нелинейная зависимость частот и волновых векторов фурье-компонент волнового пакета приводит к "дисперсии" формы волны.

Закон дисперсии волнового пакета из уравнения Шредингера

elduge

elduge

СлучайныйПреобразование Фурье

свободный

elduge

elduge

свободный

Ответы (1)

свободный

elduge

свободный

свободный

elduge

elduge

свободный

свободный

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Можем ли мы с уверенностью предположить, что Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} всегда в QM?

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

В каких случаях целесообразно решать стационарное уравнение Шредингера?

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Интерпретация текста во вступлении Гриффита к QM

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний

Симметрия обращения времени в уравнении Шредингера и эволюция волнового пакета