В недавнем вопросе я попытался уточнить, при каких условиях Землю можно считать инерциальной системой отсчета. Мнения, изложенные в моем собственном ответе на процитированный вопрос, заключаются в том, что
Однако этот ответ , по-видимому, предполагает, что вывод о свободном падении только приблизительно точен для объекта конечного размера, и есть также поправки, связанные с этим конечным размером. Следовательно, ответ, данный ранее, возможно, неполный. Конкретно:
Отличаются ли эти поправки от вращения Земли (или на самом деле они выражают одно и то же)?
Ответ Любоша Мотла описывал вклад искривления пространства-времени как отклонение от плоского пространства-времени. В плоском пространстве-времени вы всегда можете найти глобальную инерциальную систему отсчета, и благодаря «автоматически гарантированному» факту, который он упомянул, мы знаем, что в искривленном пространстве-времени вы всегда можете найти локальную инерциальную систему отсчета, в которой отклонения от инерциальной имеют второй порядок в пространстве и времени.
Плоскостность означает, что гравитация однородна или отсутствует. Искривление пространства-времени означает, что гравитация неоднородна, что является приливной гравитацией. Чем дальше вы уходите в искривленном пространстве-времени, тем более неоднородна гравитация. Это заставляет пространственно разделенные геодезические ускоряться относительно друг друга больше, чем соседние геодезические.
Любош Мотл сделал одну ошибку в своем ответе, и она заключалась в утверждении, что наибольший вклад исходит от Луны и Солнца. Крупнейшим источником неравномерной гравитации вблизи Земли является сама Земля. Из-за кривизны и конечного размера Земли геодезические на противоположных сторонах Земли ускоряются друг к другу с ускорением 2 g, что сводит на нет любой вклад Луны или Солнца. Именно эта неравномерность гравитации, это искривление пространства-времени удерживает поверхность Земли от расширения, хотя она и движется наружу с ускорением в 1 g.
По мере того, как интересующая вас область охватывает все большую и большую площадь, отклонения от плоскостности увеличиваются. Таким образом, в небольшой лаборатории мы можем рассматривать свободно падающие объекты как инерционные. Если они начинаются в состоянии покоя относительно друг друга, то они остаются примерно на одном и том же расстоянии друг от друга. В большой области, такой как вся земля, это не работает. Свободно падающие объекты, изначально покоящиеся друг относительно друга, не остаются на одинаковом расстоянии друг от друга.
Могут ли они компенсироваться вращением Земли?
Нет. Они не имеют ничего общего с вращением Земли. Эффекты, описанные выше мной и в другом ответе Любоша Мотла, относятся к невращающемуся объекту. Вращение Земли производит дополнительный, но очень небольшой эффект. Я пренебрег этим здесь.
Каковы ограничения на размер/радиус Земли для того, чтобы сделать эту поправку малой (например, по сравнению с силой тяжести, действующей на поверхности)?
В принципе, для того, чтобы поправки на кривизну были небольшими, вам нужно иметь достаточно маленькую область пространства и времени, чтобы объекты, находящиеся в состоянии покоя в свободном падении, не изменяли заметно свои расстояния друг относительно друга. Если ваша комната достаточно мала, чтобы все падало в одном направлении, тогда все в порядке. Если у вас есть лаборатория, которая охватывает континент, то объекты, падающие с одной стороны лаборатории, будут немного ускоряться по направлению к объектам, падающим с другой стороны лаборатории.
Отличаются ли эти поправки от вращения Земли (или на самом деле они выражают одно и то же)? Могут ли они компенсироваться вращением Земли?
Отличаются и не могут.
В качестве наглядного примера рассмотрим приливы наших океанов. В одном месте на экваторе Земли приливы усиливаются, а в другом падают. Во вращающейся системе отсчета центробежная сила одинакова по всему экватору, поэтому невозможно приписать этот эффект вращению.
В ответе Любоша он утверждает, что центр Земли движется по геодезической (т.е. инерциально), но чем дальше вы находитесь от центра, тем большие неинерционные эффекты вы будете испытывать. Эти эффекты связаны с тем, что две параллельные геодезические недолго остаются параллельными - возникает геодезическое отклонение. Итак, если у нас есть две свободно падающие частицы вблизи Земли, которые изначально параллельны (в четырехмерном представлении трехмерного параллелизма недостаточно), они начнут удаляться/приближаться друг к другу, как на рис. эта вики-страница . Формула для приливных эффектов приведена на странице вместе с некоторыми значениями.
Но дело в том, что мы смешиваем два фреймворка вместе. В ОТО вряд ли можно было бы считать Землю инерциальной системой отсчета, так как все на поверхности Земли разгоняется вверх с довольно значительным ускорением. Каждый инженер учитывает это, когда строит машину или здание, поэтому единственный способ интерпретировать вопрос о том, является ли Земля инерционной системой отсчета, — это в рамках ньютоновской гравитации. Там приливные силы возникают не из-за неспособности нашей системы отсчета быть инерционной, а из-за гравитационного взаимодействия между телами. С этой точки зрения Землю можно считать инерционной.
Но мы знаем, что она вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца. Вращение вокруг оси делает поверхность неинерционной, как вы правильно указали в своем ответе. Если мы зафиксируем вращение нашей системы отсчета по дальним звездам, то мы избавимся от этого и вращение вокруг Солнца создаст большую неинерционность в нашей системе отсчета.
В рамках Ньютона свободно падающие тела считаются не инерционными, а ускоренными. Однако из принципа эквивалентности мы знаем, что это ускорение свободно падающих тел довольно точно моделирует инерционную систему отсчета, нам просто нужно игнорировать гравитационную силу, управляющую свободным падением. В рамках Ньютона, чтобы описать движение Земли вокруг Солнца в системе отсчета Земли, нам нужно было бы вычислить гравитационную силу от Солнца и центробежную силу от неинерциальности нашей системы отсчета, и мы приходим к выводу, что они компенсируют друг друга. Математически это равносильно утверждению, что система отсчета Земли вблизи нее инерциальна и гравитационное поле от Солнца отсутствует. На самом деле этим занимаются инженеры. Они предполагают, что Земля является инерциальной системой отсчета, и их не волнует гравитация Солнца.
При этом центр Земли не движется по геодезической, но это другой эффект, чем приливные силы, которые описывает Любош. Это происходит из-за того, что каждая частица, из которой состоит Земля, пытается двигаться по своей геодезической, но межмолекулярные силы препятствуют этому, и результирующее движение можно назвать компромиссом. Но это очень маленький эффект, наверное, даже не стоит упоминать.
Роджер Вадим
Дол