Значение общей ковариации

Вальд — первоклассный релятивист, и поэтому он формулирует концепцию общей ковариантности в терминах чисто геометрических величин, а не прибегает к несколько неточному понятию преобразования координат. В обсуждении на стр. 57, он продолжает давать пример того, что означает нарушение принципа общей ковариантности.

В своем примере он предполагает, что у вас есть, помимо метрики, предпочтительное векторное поле$v^a$. Это векторное поле определяет предпочтительное направление в пространстве-времени и, следовательно, кодирует дополнительную геометрическую структуру. Вы могли подумать о$v^a$как разновидность эфира. Тогда в этой теории была бы предпочтительная система координат, в которой вектор$v^a$имеет компоненты$v^\mu = (1,0,...,0)$. Таким образом, результирующая теория не будет общековариантной.

Чтобы развить этот пример немного дальше, мы можем рассмотреть скалярное поле. Действие, которое вы могли бы написать, это

$$S = \frac12\int(\eta^{ab}\partial_a\phi\partial_b\phi - \alpha (v^a\partial_a\phi)^2)$$ и тогда уравнение движения $$\eta^{ab}\partial_a\partial_b\phi - \alpha v^b\partial_b(v^a\partial_a\phi) = 0,$$ В более прозрачной форме предположим $\partial_b v^a = 0$, и разреши $v^a$указывать направление времени. Тогда это уравнение становится $$(1-\alpha)\partial_t^2\phi - \nabla^2\phi=0,$$ т.е. волновое уравнение со скоростью $c_s^2 = (1-\alpha)^{-1}$. Однако эта скорость легко может быть больше, чем $1$позволив $\alpha$быть положительным, так что это явно нарушает специальную теорию относительности. Это произошло потому, что мы включили $v^a$, геометрическая структура рядом с плоской метрикой $\eta_{ab}$.

Таким образом, любое фиксированное векторное или тензорное поле может выступать в качестве дополнительной геометрической структуры. Вы также можете делать другие вещи, например, иметь оператор фиксированной производной.$\nabla_a$, что означает, что вы сможете писать символы Кристоффеля$\Gamma^a_{bc}$явно в уравнениях.

Смысл проведения различия с инвариантностью координат состоит в том, что говорить о том, что уравнение справедливо во всех системах координат, как бы напрасно. Это потому, что если у меня есть уравнение, а затем я меняю координаты, я все равно получаю то же уравнение, но только в другой системе координат. Способ записи уравнения инвариантным к координатам образом состоит в том, чтобы идентифицировать все дополнительные геометрические структуры в теории (т.е.$v^a$а также$\eta_{ab}$в нашем примере выше). Если после этого единственной геометрической структурой, необходимой для записи уравнений в общековариантном виде, была бы плоская метрика$\eta_{ab}$, мы говорим, что теория является общековариантной специальной релятивистской теорией.

Общая ковариация в основном означает, что вы можете произвольно изменить свою систему координат и выразить законы физики в новых координатах. Благодаря этой свободе связь между координатными расстояниями, углами и т. д. и физическими расстояниями, углами и т. д. переменна и выражается метрикой.

Таким образом, процитированное утверждение в основном говорит о том, что вы не можете считать, что ваши координаты что-то означают физически, и законы физики не должны формулироваться таким образом, который требует от вас использования определенной системы координат. Всегда приходится переводить координаты в физические величины через метрику.

Например, вы не можете просто использовать формулу Евклидова расстояния$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$для расстояний между точками при расчете силы или чего-то подобного, поскольку это действительно только в плоском пространстве в декартовых координатах.

Другой стороной этого и более глубоким физическим смыслом является принцип эквивалентности , который утверждает, что ускорение эквивалентно гравитационному полю. Это можно сформулировать так: законы физики не могут «знать» о пространстве-времени ничего, кроме того, что содержится в метрике. Ускоряющая система отсчета и гравитационное поле локально дают одну и ту же метрику, поэтому они полностью эквивалентны для всех физических целей. Метрика не знает разницы, поэтому законы физики не знают разницы.