Какой закон сохранения соответствует бусту Лоренца?

Предупреждение: это длинный и скучный вывод. Если вас интересует только результат, перейдите к самому последнему предложению.

Теорему Нётер можно сформулировать разными способами. Для целей вашего вопроса мы можем удобно использовать специальную релятивистскую лагранжеву формулировку скалярного поля. Итак, предположим, что нам дано действие

$$S[\phi] = \int {\mathcal L}(\phi(x), \partial_{\mu} \phi(x), \dots) {\rm d}^4x.$$

Предположим теперь, что действие инвариантно относительно некоторого инфинитезимального преобразования$m: x^{\mu} \mapsto x^{\mu} + \delta x^{\mu} = x^{\mu} + \epsilon a^{\mu}$(никакое явное преобразование самих полей мы рассматривать не будем). Тогда мы получим сохраняющийся ток

$$J^{\mu} = {\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{,\mu}} \phi^{,\nu} a_{\nu} - {\mathcal L} a^{\mu} = \left ({\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{,\mu}} \phi^{,\nu} - {\mathcal L} g^{\mu \nu} \right) a_{\nu} .$$ Мы получаем из него сохраняющийся заряд, полагая $Q \equiv \int J^0 {\rm d}^3x$так как от $\partial_{\mu}J^{\mu} =0$у нас есть это $${\partial Q \over \partial t} = \int {\rm Div}{\mathbf J}\, {\rm d}^3 x = 0$$ которое выполняется в любое время, когда токи затухают достаточно быстро.

Если преобразование задано переводом$m_{\nu} \leftrightarrow \delta x^{\mu} = \epsilon \delta^{\mu}_{\nu}$мы получаем четыре сохраняющихся тока

$$J^{\mu \nu} = {\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{\mu}} \phi^{\nu} - {\mathcal L} g^{\mu \nu} .$$

Этот объект более известен как тензор энергии напряжения.$T^{\mu \nu}$и связанные с ними сохраняющиеся токи известны как импульсы$p^{\nu}$. Кроме того, в общем случае сохраняющийся ток просто определяется выражением$J^{\mu} = T^{\mu \nu} a_{\nu}$.

Для преобразования Лоренца имеем

$$m_{\sigma \tau} \leftrightarrow \delta x^{\mu} = \epsilon \left(g^{\mu \sigma} x^{\tau} - g^{\mu \tau} x^{\sigma} \right)$$ (обратите внимание, что это антисимметрично, и поэтому есть только 6 независимых параметров преобразования), и поэтому сохраняющиеся токи - это токи углового момента $$M^{\sigma \tau \mu} = x^{\tau}T^{\mu \sigma} - x^{\sigma}T^{\mu \tau}.$$ Наконец, мы получаем сохраняющийся угловой момент как $$M^{\sigma \tau} = \int \left(x^{\tau}T^{0 \sigma} - x^{\sigma}T^{0 \tau} \right) {\rm d}^3 x .$$

Обратите внимание, что для частиц мы можем пойти немного дальше, поскольку связанные с ними импульсы и угловые моменты не задаются интегралом. Поэтому мы имеем просто это$p^{\mu} = T^{\mu 0}$и$M^{\mu \nu} = x^{\mu} p^{\nu} - x^{\nu} p^{\mu}$. Часть этого вращения (записанная в виде обычного псевдовектора) равна

$${\mathbf L}_i = {1 \over 2}\epsilon_{ijk} M^{jk} = ({\mathbf x} \times {\mathbf p})_i$$ в то время как для части повышения мы получаем $$M^{0 i} = \left(t {\mathbf p} - {\mathbf x} E \right)^i$$ который есть не что иное, как центр масс в $t=0$(мы свободны в выборе $t$поскольку количество сохраняется), умноженное на $\gamma$так как у нас есть отношения $E = \gamma m$, ${\mathbf p} = \gamma m {\mathbf v}$. Обратите внимание на сходство с ${\mathbf E}$, $\mathbf B$разложение тензора электромагнитного поля $F^{\mu \nu}$.

Чтобы дополнить превосходный ответ Марека, я привожу альтернативный вывод ниже и предоставляю как можно больше промежуточных шагов.

Для бесконечно малого перемещения$y^\mu=x^\mu+\xi^\mu$, скалярное поле изменяется как

$$\phi(y)=\phi(x)+\xi^\mu \partial_\mu\phi(x)+...$$

Смещение по бесконечно малому преобразованию Лоренца$\Lambda^{\mu\nu}$является$y^\mu=x^\mu+\Lambda^{\mu\nu}x_\nu$. Точно так же скалярное поле изменяется как:

$$\phi(y)=\phi(x)+ \Lambda^{\mu\nu}x_\nu\partial_\mu\phi(x)+...$$ Вариация поля относительно$\Lambda^{\mu\nu}$является $$\frac{\delta \phi}{\delta \Lambda^{\mu\nu}}=x_\nu\partial_\mu\phi(x)-x_\mu\partial_\nu\phi(x)$$ Причина, по которой в правой части два члена, заключается в том, что бесконечно малое преобразование Лоренца$\Lambda^{\mu\nu}$является антисимметричным, т.е.$\Lambda^{\nu\mu} = -\Lambda^{\mu\nu}$, который имеет только 6 независимых компонентов. (Вы можете проверить это, потребовав, чтобы скалярное произведение не изменилось после преобразования,$y^\mu y_\mu = x^\mu x_\mu$)

Используя принцип наименьшего действия, вариацию лагранжиана$\mathcal{L}$является

$$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \Lambda^{\mu\nu}}=\sum_n\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\phi_n} \frac{\delta\phi_n}{\delta \Lambda^{\mu\nu}} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi_n)} \frac{\delta(\partial_{\mu}\phi_n)}{\delta \Lambda^{\mu\nu}} \}$$ Применение уравнения движения $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_n} -\partial_\mu\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}=0$$ получаем закон сохранения: $$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \Lambda^{\mu\nu}}=\sum_n\partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial_{\mu}\phi_n} \frac{\delta\phi}{\delta \Lambda^{\mu\nu}} ]$$ Подставляя выражение для$\delta \phi/\delta \Lambda^{\mu\nu}$и аналогичный для$\delta \mathcal{L}/\delta \Lambda^{\mu\nu}$, получаем окончательный закон сохранения $$\partial_\mu j^{\mu \lambda\sigma} = 0$$ где консервативный ток $$j^{\mu \lambda\sigma}=x^\lambda T^{\mu\sigma} - x^{\sigma}T^{\mu\lambda}$$ угловой момент и $$T_{\mu\nu}= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial_\nu\phi-g_{\mu\nu}\mathcal{L}$$ это импульс.

Прямой ответ? На самом деле у него нет имени, но в литературе он всегда описывался в 3-векторной форме как$𝐊$, наряду с 3-вектором углового момента$𝐉$.

Любая система, элементарная или составная, релятивистская или нерелятивистская, имеющая систему покоя (т.е. систему, в которой импульс$𝐏$является$𝟎$), и положение центра масс,$𝐫$, его можно назвать «Тардион» (или «Брадион»). Для таких систем угловой момент распадается на$𝐉 = 𝐫×𝐏 + 𝐒$, где$𝐒$– его внутренний угловой момент; т.е. его угловой момент, взятый по отношению к его положению центра масс. Когда система элементарна, а не составна, то эту составляющую углового момента называют ее «спином». Другая часть,$𝐋 = 𝐫×𝐏$- это «орбитальный» угловой момент системы, который представляет собой угловой момент, который она имеет в силу своего движения вокруг начала координат.$𝐫 = 𝟎$.

Другая величина для таких систем разлагается как$𝐊 = M𝐫 - 𝐏t + 𝐓$. Это не имеет официального названия и (как вы можете видеть) явно зависит от времени, в силу появления$t$На время. За неимением лучшего названия вы можете назвать это «моментом движущейся массы» из-за зависимости от времени и импульса.$𝐏$.

Масса здесь,$M$, также является «движущейся» массой. В нерелятивистской теории это$M = m$, равный массе$m$системы в собственной системе покоя - ее масса покоя. В теории относительности он зависит от импульса, заданного как

$$M = m \sqrt{1 + \frac{1}{c^2}\frac{P^2}{m^2}}.$$ В настоящее время «общая энергия»$E = Mc^2$обычно используется в релятивистской литературе вместо движущейся массы$M$, но это затемняет обсуждение того, что$𝐊$является; это просто момент массы, который система имела бы в момент$t = 0$, если его положение спроецировано обратно на$t = 0$рассматривая его как перемещающийся между тем и настоящим со скоростью$𝐯 = 𝐏/M$.

Дополнительное количество$𝐓$- аналог внутреннего углового момента - зависит от$𝐒$. Для нерелятивистских Тардионов$𝐓 = 𝟎$, а в Относительности

$$𝐓 = \frac{1}{c^2}\frac{𝐏×𝐒}{m + M} = \frac{𝐏×𝐒}{mc^2 + E}.$$ Так что тот факт, что он не равен нулю и зависит от спина, является чисто релятивистским эффектом.

Как в релятивистском, так и в нерелятивистском случаях это можно решить за$𝐫$в терминах канонических величин$𝐉$,$𝐊$,$𝐏$и$M$; в результате получается классическая версия оператора Ньютона-Вигнера для вектора положения центра масс.

Для всех систем - Тардионов, Люксонов, Тахионов - если нет внутреннего момента импульса - точнее: если$𝐖 = 𝟎$, где$𝐖 ≡ M𝐉 + 𝐏×𝐊$является 3-вектором Паули-Любанского, то только в силу этого имеет место разложение на$𝐉 = 𝐫×𝐏$и$𝐊 = M𝐫 - 𝐏t$. Итак, они называются «спин 0», что является злоупотреблением терминологией, если система не Тардион.

Тахионы принадлежат к классу систем отсчета, в которых$M = 0$, но$𝐏 ≠ 𝟎$- бесконечная скорость кадра. В том кадре,$Π^2 = P^2$это квадрат импульса, его значение равно$Π = P \sqrt{1 - M^2c^2/P^2}$или$Π = P \sqrt{1 - E^2/(Pc)^2}$. Нерелятивистский эквивалент этого типа системы не имеет названия, поэтому я назвал его «Синхрон». Соответственно, систему отсчета бесконечной скорости для тахиона можно было бы назвать «синхронной» системой отсчета: в ней он предстает не как сущность, движущаяся во времени, а просто как пространственный объект, существующий в данный момент. Нерелятивистская версия, «синхрон», по сути, представляет собой мгновенную передачу ненулевого импульса в пространстве: «-вкл» для динамики действия на расстоянии.

Вопрос мутный о том, как$𝐉$и$𝐊$разлагаются, за исключением случая «спин 0».

Люксоны не имеют ни рамки «Синхрон» с бесконечной скоростью, ни рамки покоя. Это может произойти только в том случае, если$P = Mc = E/c$.

Точно так же и здесь запутан вопрос о том, как$𝐉$и$𝐊$должен разлагаться, за исключением случая «спин 0». Но на этот раз есть также незначительное исключение для случая, когда$𝐖$и$𝐏$выровнять, с фиксированным соотношением$𝐖 = η𝐏$. Этот подкласс также не имеет официального названия. Итак, я назвал его «винтовым» корпусом или «Гелионом». Аналогичный подкласс существует для класса Synchron; поэтому спиральные синхроны можно рассматривать как нерелятивистский предел спиральных люксонов.

Фотоны относятся к спиральному подклассу.

Пропорция$η$является фиксированным свойством системы и напрямую связано с составляющей углового момента$𝐉$параллельно$𝐏$, которая называется «спиральностью», а ее значение равно$ηc$.

Фотоны не имеют спина. Имеют спиральность.

можно написать$𝐉 = 𝐫×𝐏 + η𝐏/M$, и$𝐊 = M𝐫 - 𝐏t$но в это время,$𝐫$не совсем добросовестное «положение центра масс». Это можно исправить, чтобы сделать его "каноническим", но только ценой создания$𝐫$сингулярная функция других канонических величин$𝐉$,$𝐊$,$𝐏$и$M$(или$E$).

В случае спина 0 для невзаимодействующей системы все канонические величины постоянны, во времени - как выражение законов сохранения для каждой из них. Но с тех пор$𝐊$явно зависит от времени, его постоянство делает$𝐫$функция времени:$𝐫 = 𝐫_0 + 𝐯t$, выражающее движение в постоянном направлении с постоянной скоростью, расположенное в точке$𝐫_0 = 𝐊/M$вовремя$t = 0$, движущийся с постоянной скоростью$𝐯 = 𝐏/M$. Итак, закон сохранения для$𝐊$на самом деле это просто закон инерции.

Вы должны будете решить, что$𝐫$похоже, как функция времени$t$для случая Тардионов со спином, где$𝐓 ≠ 𝟎$.