Интерпретация коммутаторов генераторов Пуанкаре

При линейном преобразовании$T$векторного пространства, операторы$O$на нем преобразовать как$O\mapsto TOT^\dagger$. Так как по определению$J_i$являются бесконечно малыми генераторами вращения как$R(\phi) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}J_i\phi}$, конечное вращение$\mathrm{e}^{\mathrm{i}J_i \phi}O\mathrm{e}^{-\mathrm{i}J_i\phi}$подразумевает, что бесконечно малое изменение любой наблюдаемой при вращении равно$[J_i,O]$. (Это следует из того, что Тейлор расширил экспоненты и сохранил только член до первого порядка в$\phi$.)

Таким образом, коммутационные соотношения вида$[J_i,O]$рассказать вам, как$O$изменяется при вращении.

Точно такие же рассуждения применимы к бесконечно малым генераторам.$K_i$бустов Лоренца, поэтому$[K_i,H]$есть бесконечно малое изменение энергии под действием толчка.

Ради ясности я продемонстрирую, что сказали делать @ACuriousMind и @Valter Moretti. не буду приводить все$i$хотя.

Предположим, мы вызываем поворот нашей системы координат на угол$\phi$относительно некоторой оси. Ввиду того, что операторы$L_i$являются генераторами таких поворотов, любой оператор, существующий в нашем гильбертовом пространстве, теперь будет преобразован в виде

$$\vec O\to e^{\vec\phi\cdot \vec L}\vec Oe^{-\vec\phi\cdot \vec L}\approx \vec{O}+[\vec\phi\cdot \vec L,\vec O]+\cdots,$$ где $\vec O=\hat{x_1} O_1+\hat{x_2} O_2+\hat{x_3} O_3$и где мы использовали тождество Кэмпбелла Хаусдорфа Бейкера. Предположим, что мы имеем коммутационное соотношение $$[L_i,O_j]=\epsilon_{ijk}O_j,$$ мы можем переписать приведенное выше как $$\vec{O}+[\vec\phi\cdot \vec L,\vec O]=\vec O+\phi_i \hat{x}_j[L_i,O_j]=\vec O-\vec\phi\times\vec O.$$ Это говорит о том, что изменение, вызванное нашим оператором, циркулирует вокруг $\phi$в направлении, противоположном тому, в которое трансформировался базис. Это имеет смысл, потому что базис и компоненты вектора преобразуются с преобразованиями, обратными друг другу. Следовательно, этот оператор делает именно то, что мы ожидаем от вектора при таком изменении базиса.

Потому что$K,P,L$все имеют одинаковые коммутационные соотношения с$L$, все они ведут себя как 3-векторы при вращении. Отныне вы можете запомнить этот факт, и вам не придется делать это снова и снова.