Понятие частицы в КТП

Несколько удивительно, что «общая» частица КТП на самом деле полностью делокализована.

Точнее, считается, что частицы возникают в результате модового расширения свободных полей . Поскольку каждое свободное релятивистское поле$\phi$удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона$(\partial^\mu\partial_\mu - m^2)\phi = 0$, преобразование Фурье показывает, что его можно разложить как

$$\phi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2p^0}}(a(\vec p)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px} + a^\dagger(\vec p)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}px})$$

где лоренц-инвариантность не проявляется, но тем не менее может быть доказана. Квантовое поле является операторнозначным , а операторнозначные объекты$a(\vec p),a^\dagger(\vec p)$выполнять в точности правильные коммутационные соотношения, которые следует интерпретировать как операторы рождения и уничтожения. $n$-частичное состояние частиц, связанных с полем$\phi$теперь определяется как

$$\lvert n;p_1,\dots,p_n \rangle := a^\dagger(p_1)\dots a^\dagger(p_n)\lvert \Omega \rangle$$

куда$\lvert \Omega \rangle$является (в основном) уникальным вакуумным состоянием. Таким образом, вы сначала создаете все состояния частиц, которые четко локализованы в пространстве импульсов (и, следовательно, полностью делокализованы в пространстве положений), и вы можете строить локализованные состояния частиц обычным построением «волновых пакетов» с нечетким импульсом из состояний с резким импульсом. :

Волновой пакет QM шириной$\sigma_x$локализован в$x_0$строится из чистых импульсных состояний$\lvert \vec p \rangle$как что-то вроде

$$\lvert x_0,\sigma_x\rangle = \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\mathrm{e}^{\mathrm{2i\sigma_x^2(x - x_0)^2}}\lvert p \rangle$$ Он работает точно так же для локализованных частиц КТП, за исключением того, что нужно умножить меру на $\frac{1}{\sqrt{2p^0}}$иметь лоренц-инвариантное интегрирование и, конечно, $\lvert p \rangle = a^\dagger(p)\lvert \Omega \rangle$.

Идея о том, что «частицы являются локальными возбуждениями полей», исходит из наблюдения, что это разложение мод почти полностью аналогично классическому полю, удовлетворяющему волновому уравнению, подобному уравнению Клейна-Гордона, где$a(\vec p),a^\dagger(\vec p)$будет непосредственно представлять собой возбуждение поля волнового числа$\vec p$. В контексте КТП оно не может быть уточнено, поскольку квантовое поле является операторнозначным и не имеет определенных значений, поэтому совершенно неясно, какой строгий смысл можно было бы придать его «возбуждению». Это красивая картина, но не стоит воспринимать ее слишком буквально.

Также обратите внимание, что это для свободного поля . Истинное взаимодействующее поле КТП не может быть расширено по модам таким образом, а состояния частиц (посредством формализма LSZ) получаются только в асимптотическом прошлом и будущем (когда они были достаточно далеко друг от друга, чтобы взаимодействия фактически не существовали) теория - гильбертово пространство (и, следовательно, любые состояния, которые вы можете или не можете идентифицировать как частицы) взаимодействующих КТП по существу неизвестна .

Кроме того, более математические методы построения КТП часто сначала строят$a,a^\dagger$и фоковское пространство состояний частиц, а затем определить поле из него - тогда роли частицы и поля как «фундаментального» и «производного» несколько меняются местами.

Хороший способ понять частицу в квантовой теории поля — провести аналогию с физикой твердого тела (конденсированного вещества).

Представьте твердое тело, это решетка атомов с регулярными интервалами. Но атомы могут двигаться, если один смещен к своему соседу, этот сосед немного отодвинется, тем самым влияя на своего соседа и так далее. Итак, есть основная структура, стационарная решетка. И в этой лежащей в основе структуре, в этих различных режимах вибрации возникают нарушения. Вы можете представить небольшую вибрацию или большую вибрацию. Эти колебательные моды называются фононами, и это не опечатка, они подобны частицам звука. Это не фундаментальные частицы, это моды вибрации решетки. Но они подчиняются определенным правилам, особенно если мы посмотрим на квантовую природу решеточных взаимодействий.

Теперь вместо решетки атомов представьте единое электронно-позитронное поле, заполняющее все пространство. У него может быть вакуумное состояние, и, возможно, в этом вакуумном состоянии существуют возмущения или моды вибрации, некоторые из этих мод называются электронами, некоторые — позитронами. У кого-то импульс в одном направлении, у кого-то в другом. У одних вращение вверх, у других вращение вниз. Каждая из них является модой в едином едином электронно-позитронном поле, заполняющем пространство-время. Подобно тому, как колебания решетки имели квантованные моды, и мы назвали их фононами, так и эти моды электронно-позитронного поля тоже являются квантами и являются электронами (или позитронами).

редактировать

Если посмотреть на связку масс, соединенных пружинами, нормальные моды вообще не локализованы. На самом деле вы можете вычислить собственные моды для одномерной системы с несколькими одинаковыми массами и одинаковыми пружинами, и это хорошее упражнение, если вы никогда раньше этого не делали. Точно так же моды квантового поля ни в малейшей степени не локализованы, а само поле есть везде.

Это похоже на волну, имеющую преобразование Фурье, или на периодическую волну, имеющую ряд Фурье. Когда у него есть версия Фурье, вы можете описать его как «составленный» из части этого режима и немного из этого режима. Если позже у вас будет совсем другое преобразование Фурье, то вы можете говорить о том, что купол этих битов был разрушен или создан. Ни одна из частей, ни один из режимов, ни один из них не локализован.

В КТП частица иногда рассматривается как неоднородность поля.

Если вы думаете о решетке как о правильной, то эти колебательные моды можно рассматривать как нерегулярность, но они ни в малейшей степени не локализованы. Один из способов вибрации может состоять в том, чтобы мысленно сгруппировать атомы в пары соседей-партнеров, которые затем сохраняют свой центр масс постоянным, когда они симметрично движутся к своему партнеру, а затем от него регулярным периодическим образом. Этот режим ни в малейшей степени не локализован. Все моды качественно таковы, о них можно думать как об отклонениях от правильной решетки, но они являются отклонениями со своей собственной регулярностью и разбросаны повсюду, как и исходная решетка была разбросана повсюду.

Итак, для КТП вместо решетки у вас есть вакуумное состояние квантового поля (например, электрон-позитронное поле). Вакуумное состояние не нулевое, оно не тривиально и имеет закономерности. Оно распространено повсюду. Высокоэнергетические формы возбуждения подобны отклонениям, которые сами по себе регулярны и разбросаны по всему пространству, подобно тому как состояние вакуума было регулярным и разбросано по всему пространству. И хотя вы привыкли думать, что электронов много, для каждого электрона во Вселенной существует только одно поле (и все позитроны тоже разделяют это поле). Просто разрешено иметь много возбуждений одновременно, подобно тому, как вибрирующая струна может иметь сразу много гармоник.

КТП рассматривает частицы как возбужденные состояния основного физического поля, поэтому они называются квантами поля.

То же самое, есть лежащее в основе поле, его можно возбудить разными способами, возбуждения — это то, что мы называем частицами. Они подобны модам вибрации или отклонениям состояния вакуума. И все они разбросаны по всему пространству.