Частица скользит по сфере

Мы помещаем круговую орбиту частицы на прямую линию и преобразуем движение в одномерное прямолинейное движение следующим образом: Длина дуги, естественный параметр$\:s(t)\:$это расстояние, пройденное по прямой до времени$\:t\:$. Скорость$\:v(t)\:$на прямой — величина касательной к окружной скорости. Теперь по прямой частица движется как бы под действием касательной силы, которая$\:f_{t}=mg\sin(\theta)\:$так при переменном ускорении$\:a_{t}=g\sin(\theta)\:$. Но$\:\theta=s/R\:$поэтому дифференциальное уравнение движения имеет вид

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}^{2} s}{ \mathrm{d}t^{2} }-g\sin\left(\dfrac{s}{R}\right)=0, \qquad \left[\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right]_{t=0}=0, \qquad s(0)=0 \tag{01} \end{equation}$$

так как частица начинает покоиться в начале координат.

С другой стороны, условием для того, чтобы частица покинула сферу, является то, что нормальная сила равна нулю.

$$\begin{equation} N=mg\cos(\theta)-ma_{c}=mg\cos(\theta)- \dfrac{mv^{2}}{R}=0 \tag{02} \end{equation}$$ то есть $$\begin{equation} \boxed { \bbox[#FFFF88,8px]{\:\:\left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}-gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right)=0 \:\:}} \tag{03} \end{equation}$$

Теперь мы должны решить (01), чтобы найти, в какой точке выполняется условие (03). Но это окажется не нужным. Итак, умножая (01) на$\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}$у нас есть

$$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\dfrac{\mathrm{d}^{2} s}{ \mathrm{d}t^{2} }-g\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\sin\left(\dfrac{s}{R}\right)=0 \tag{04} \end{equation}$$ или $$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right) +\dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left[gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right)\right]=0 \tag{05} \end{equation}$$ то есть $$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]=0 \tag{06} \end{equation}$$

Это означает, что мы нашли константу интегрирования (01) и более явно, используя начальные условия

$$\begin{equation} \Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2g\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]=\text{constant}=\Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]_{t=0}=2gR \tag{07} \end{equation}$$ или $$\begin{equation} \boxed { \bbox[#FFFF88,8px]{\:\: \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) =2gR \:\:}} \tag{08} \end{equation}$$

Подстроив уравнения (08) и (03) рядом, мы наконец имеем

$$\begin{equation} \cos\left(\theta\right)=\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) =\dfrac{2}{3} \tag{09} \end{equation}$$

Примечания :

1. Дифференциальное уравнение движения (01) идентично тому, что в ответе Движа, но относительно$\:s(t)=\theta(t)R\:$вместо$\:\theta(t)\:$.

2. Я нахожу константу интегрирования (07) уравнения (01) мотивированной тем фактом, что существует константа: энергия. Вставил энергосбережение через заднюю дверь.

Если на «закон» физики можно действительно не обращать внимания, и все же вы можете совершенно точно предсказать результат эксперимента, то это не закон физики. Итак, если сохранение энергии здесь является физическим фактом, то явно или неявно мы собираемся использовать этот факт, иначе мы не сможем предсказать полный результат. Итак, я предполагаю, что ваш вопрос состоит в том, чтобы рассчитать траекторию мяча без какого-либо явного использования сохранения энергии, но с помощью (как вы упомянули) холодных уравнений Ньютона.

Поскольку радиус сферы постоянен, проще использовать уравнения углового движения, а не прямоугольные уравнения с двумя компонентами. я измеряю$\theta$от вертикали.

$Rmg\sin\theta$ $=$ $mR^2\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

Или,$g\sin\theta=R\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

Это уравнение движения. Поставим начальные условия$\theta=0$и$\dfrac{d\theta}{dt}=0$. И мы получим не одно решение этого дифференциального уравнения! (Это в каком-то смысле странно, и почему это происходит — долгая дискуссия. Но это не предполагает, что ньютоновская механика является вероятностной или лишь частично детерминированной. Это только предполагает, что начальное состояние в некоторых случаях не полностью описывается через производные до первого порядка по времени - нам нужно указать что-то еще.) Из этих решений мы выберем решение, в котором$\theta$увеличивается со временем. Итак, по сути, теперь у нас есть известная функция времени,$f(t)$, так что$\theta=f(t)$.

Зная это, мы можем просто написать уравнение для силы Нормальной Реакции следующим образом:

$N=mg\cos\theta-R\bigg(\dfrac{d\theta}{dt}\bigg)^2$

$N=mg\cos\theta-R(f'(t))^2$.

Чтобы узнать$\theta$, при котором мяч покидает поверхность, будем писать$N=0$. И это дает

$\theta=\cos^{-1} \bigg(\dfrac{R(f'(t))^2}{mg}\bigg)$

Или,$f(t)=\cos^{-1} \bigg(\dfrac{R(f'(t))^2}{mg}\bigg)$

Это снова уравнение в$t$и это можно решить. Обратите внимание, что это не дифференциальное уравнение. Потому что функция$f$известно в явных терминах$t$и, таким образом, уравнение является просто уравнением в$t$. Ее решение даст значение времени, через которое мяч покидает сферу. Позвони в это время$t=T_k$.

Таким образом, угол в момент выхода$\theta_k$$=$$f(T_k)$.

@dvij дал уравнение

$$g\sin \theta =R\frac{d^2\theta}{dt^2}=R\frac{d\omega }{dt}$$ Если мы умножим это на омегу, мы получим: $$g\sin \theta \frac{d\theta}{dt}=R\omega\frac{d\omega }{dt}$$ Если мы проинтегрируем это уравнение между 0 и t, мы получим: $$g(1-\cos \theta)=\frac{R}{2}\omega^2$$ Итак, у нас есть $$mg\cos\theta-2mg(1-\cos \theta)=N=mg(3cos\theta-2)$$ Я не знаю, считается ли это энергетическим методом или нет.

Как сказал @dmckee, вы должны использовать полярные координаты для этой проблемы. Уравнения движения приведены ниже: ($\omega$угловая скорость и$\alpha$угловое ускорение)

$$mg\cos \theta-N=mR\omega^2\;\tag 1$$ $$mg\sin \theta=mR\alpha\;\tag 2$$ От $(2)$, у нас есть $\alpha=\large{\frac gR}\sin \theta$

С другой стороны, мы знаем:

$$\alpha\mathrm d \theta=\omega\mathrm d\omega\;\tag3$$ Итак, вы можете найти $\omega^2$как функция $\theta$.

Затем вы можете использовать уравнение$(1)$для определения угла, под которым блок теряет контакт со сферой. Не то чтобы под таким углом у нас$N=0$

Однажды вы найдете$\cos\theta_f$($\theta_f$это угол, под которым блок теряет контакт со сферой) вы можете найти$h$по этой формуле:$\cos \theta_f= \large{\frac{R-h}R}$