Почему угол наклона не влияет на то, насколько высоко запущенный объект будет скользить по пандусу без трения?

Тот факт, что наклон не имеет трения, позволяет нам использовать подход сохранения энергии, который говорит нам, что «основываясь на этом количестве начальной кинетической энергии, ящик поднимется на эту высоту».

Возьмем пример, где «наклон»$90^\circ$. Ящик движется прямо вверх с начальной скоростью 10 м/с. Как высоко это идет? Мы можем использовать кинематическое уравнение$v_f^2-v_i^2 = 2ad$где$v_f=0$найти это$d=\frac{v_i^2}{2g}=5m$точно так же, как это показано в первой части решения.

Так что же меняется с углом? Расстояние, пройденное по склону, зависит от угла. Итак, снова при чисто вертикальном подходе мы находим высоту 5 м, а расстояние, пройденное по склону, составляет те же 5 м. Но затем возьмите наклон на$10^\circ$. Коробка по-прежнему достигает 5 метров в высоту, но проехала по склону целых 29 метров!

Причина, по которой ваше применение кинематических уравнений не помогло найти высоту, заключается в том, что гравитация — не единственная сила, действующая на коробку в вертикальном направлении. Нормальная сила$N$от рампы также имеет вертикальную составляющую, и поэтому вертикальное ускорение возникает не только из-за силы тяжести.

Чтобы найти, каково на самом деле вертикальное ускорение, заметим, что мы должны иметь$a_y = a_x \tan \theta$(с$\theta = 37^\circ$); это происходит из-за того, что вектор ускорения касается наклона. Более того, из горизонтальной и вертикальной составляющих второго закона Ньютона имеем

Мы также можем видеть, что действие нормальной силы больше, когда угол$\theta$маленький. Для очень пологих склонов нормальная сила почти компенсирует вертикальное ускорение, а это означает, что$a_y$маленький; но начальная скорость в$y$-направление тоже мало. Для очень крутых склонов нормальная сила намного меньше, а это означает, что$a_y$ближе к$g$; но начальная скорость в$y$-направление также больше. Два фактора (большая/меньшая начальная вертикальная скорость и большее/меньшее вертикальное ускорение) компенсируют друг друга, в результате чего конечная$y$-координата не зависит от угла.

Конечно, этот результат гораздо легче увидеть из энергосбережения! На самом деле, многие (все?) подобные проблемы могут быть решены, по крайней мере в принципе, с помощью законов Ньютона. Сохранение энергии (и сохранение импульса, если на то пошло) можно рассматривать как «обманку» для законов Ньютона, которая позволяет нам избегать тяжелой работы, как я сделал выше.

Коробка тормозится составляющей веса, параллельной плоскости. Если плоскость круче (угол больше), ускорение больше, и ящик останавливается через короткое время. Если угол мал, ускорение мало, и коробка движется дольше, прежде чем остановится. Но, с другой стороны, чтобы добраться до той же высоты, вам придется лететь дальше по плоскости с малым углом. В конце концов, математика показывает, что эти два эффекта компенсируются, и вы получаете одну и ту же высоту независимо от угла. Конечно, это верно, если нет трения. При трении высота зависит от угла.

Ваш вопрос в основном основан на том, что говорит вам ваша интуиция, поэтому этот ответ пытается дать интуитивное объяснение, а не формульно точное.

На склоне без трения единственной тормозящей силой является гравитация, направленная строго вниз. Это приводит нас к необходимости учитывать только вертикальную составляющую объекта в свободном падении (при запуске с заданным наклоном) при ответе на вопрос о высоте, которую он достигнет.

Вероятно, поэтому вы предполагаете, что горизонтальную составляющую можно просто игнорировать, но вы упускаете из виду тот факт, что здесь есть (без трения) наклон, который меняет поведение.

Поскольку речь идет о наклоне, необходимо преодолеть всю скорость (горизонтальную и вертикальную), прежде чем ящик упадет обратно. Следовательно, это можно рассматривать как битву между гравитацией и полной скоростью ящика.

Интуитивно кажется, что чем выше наклон, тем выше поднимается ящик.

Ваша интуиция верна для объекта в свободном падении (который был запущен под наклоном), поскольку он может счастливо поддерживать свою горизонтальную составляющую, в то время как ее вертикальная составляющая изменяется под действием силы тяжести. Чем мягче наклон, тем меньше вертикальная составляющая (при одинаковой общей скорости независимо от наклона). Чем меньше вертикальная составляющая, тем быстрее гравитация преодолевает ее, что приводит к меньшей высоте по сравнению с тем, когда она была запущена с большим наклоном.

В случае запущенного объекта (без наклона) горизонтальная составляющая полностью игнорируется, так как она не связана с вертикальной составляющей. В этом сценарии вы действительно учитываете только вертикальную составляющую.

Совершенно неформальный, но, надеюсь, полезный способ думать об этом: даже если гравитация побеждает в битве и противодействует вертикальной составляющей, но коробка все равно движется вбок; наклон превратит это боковое движение в движение вверх, которое затем снова начнет бороться с гравитацией.
Вот почему горизонтальная составляющая вносит свой вклад в вертикальную составляющую, когда есть наклон, который преобразует одну в другую.

Поскольку на склоне отсутствует трение, это преобразование из горизонтальной в вертикальную происходит со 100% эффективностью (без каких-либо потерь), поэтому мы можем с радостью предположить, что вся горизонтальная скорость будет преобразована в точно такое же количество вертикальной скорости. Следовательно, ящик останавливается только тогда, когда и вертикальная, и горизонтальная скорости достигают 0.

По сути, уклон связывает горизонтальные и вертикальные компоненты вместе, так что они живут и умирают вместе. Если вы видите это как битву сил, то это битва гравитации в одном углу и объединенных горизонтальных и вертикальных сил (т.е. общая скорость коробки) в другом углу.

Единственная причина, по которой вам нужно учитывать наклон, - это если вы хотите разделить горизонтальные и вертикальные компоненты; что вам просто не нужно делать здесь.

Отношение, которое вы написали