Неясное определение несохранения энергии

Все мы знаем, что закон сохранения энергии записывается как

$$\Delta U + \Delta K = 0$$

Но когда мы имеем дело с системами, в которых энергия не сохраняется (тривиальный пример: трение), мы имеем дело с работой, совершаемой этой неконсервативной силой, что приводит нас к записи

$$\mathcal{L}_{nc} = \Delta E$$

Возьмем задачу, в которой$K_f = U_i = 0$, теперь у нас есть просто

$$\mathcal{L}_{nc} = U_f - K_i$$

Где «nc» означает «неконсервативный».

Теперь мне пришлось столкнуться с проблемой такого рода, в которой у меня есть масса$M$толкается пружиной, которая движется немного прямолинейно (здесь нет трения), а затем идет наклонная плоскость с трением$\mu$.

Вопрос в том, какое расстояние по наклонной плоскости пройдёт тело.

Учитывая, что тело имеет начальную скорость за счет отпускания пружины,$v_i$, а конечная скорость должна быть равна нулю, а потенциальные энергии равны$0$для начального и$mgh = mg\ell\sin\theta$для последнего (где$\theta$угол наклона,$\ell$пройденное расстояние), мы пишем (согласно определению выше)

$$\mathcal{L}_{nc} = \Delta E = U_f - K_i = mg\ell\sin\theta - \frac{1}{2}mv_i^2$$

Сейчас

$$\mathcal{L}_{nc} = F\cdot \ell = mg\ell \mu\cos\theta$$

И благодаря этому,$\ell$можно вычислить.

Вместо этого профессор написал на бумаге, что правильный результат

$$\mathcal{L}_{nc} + mg\ell\sin\theta = \frac{1}{2}mv_i^2$$

Я не понимаю, почему знаки перепутаны, и в основном это похоже на то, если он говорит, что

$$\mathcal{L}_{nc} = -\Delta E$$

Может кто-нибудь объяснить мне всю ситуацию?

Большое спасибо!

Детали могут быть добавлены, если они вам нужны