Являются ли спирали солнечного паруса логарифмическими? Можно ли это показать аналитически или только анализом размерностей?

Здесь есть несколько вопросов и ответов о движении по спирали к Солнцу или от него с использованием солнечных парусов, наклоненных примерно на 45 градусов для преобразования входящего радиального импульса солнечного света в тангенциальную тягу.

Говорят , что эти спирали могут быть близки к логарифмическим спиралям в зависимости от конкретных предположений.

Вопрос:

  1. Являются ли спирали солнечного паруса логарифмическими по своей природе или, по крайней мере, близки к ним?
  2. Можно ли это показать аналитически?
  3. Можно ли это показать только с помощью размерного анализа?

Ответы (1)

Ответ должен быть «не обязательно», потому что, как правило, по мере продвижения вы можете свободно регулировать угол солнечного паруса и, следовательно, траекторию. Кроме того, траектория не обязательно должна лежать в одной плоскости, поскольку парус может создавать внеплоскостные силы. Вчера я опубликовал в комментариях

анализ слабого солнечного паруса и неглубокой спиральной орбиты и пришел к выводу, что орбита представляет собой логарифмическую спираль. Но я думаю, что анализ расширяется независимо от того, насколько крута спираль. Первое, что следует отметить, это то, что и гравитационная сила, и сила солнечного ветра затухают по мере того, как

1 / р 2 и, таким образом, сохранить одно и то же соотношение независимо от радиального расстояния. Если мы предположим, что парус установлен под фиксированным углом по отношению к радиальному направлению, то не только отношение двух сил будет постоянным, но и их соответствующие направления также не зависят от радиуса. Это уже предполагает постоянный угол или логарифмическую спираль. Логарифмическая спираль «самоподобна» и выглядит одинаково на любом масштабе радиуса. р , т. е. его функции масштабируются с р .

Единственный оставшийся вопрос состоит в том, будут ли силы (т.е. ускорение, а ) и скорость, в , изменяются вместе соразмерно изменению радиуса. Количество в 2 / а имеет единицы измерения расстояния и, следовательно, также должен масштабироваться как р . С а масштабируется как 1 / р 2 , следует, что в масштабируется как 1 / ( р ) . Радиус кривизны кривой равен квадрату скорости, деленному на перпендикулярную составляющую ускорения. Отсюда следует, что радиус кривизны пропорционален r, что еще раз подтверждает логарифмическую спираль.

Сделав вывод о существовании экспоненциальных спиральных орбит, следует отметить, что они определяются одним параметром. В этом смысле они похожи на круговые орбиты. Это особый случай, поскольку, по-видимому, вы должны начать с точно правильной скорости в правильном положении, чтобы продолжить движение по желаемой спирали. Произвольные начальные условия, как правило, не дадут логарифмической спиральной орбиты больше, чем они могут дать точно круговую орбиту.

Да это интересно! Таким образом, для данного центрального тела и данной плоскости существует бесконечное число решений по круговым орбитам, отличающихся радиусом (или скоростью, или энергией) и некоторой абсолютной фазой относительно т "=" 0 . Интересно, существует ли для одного и того же заданного центрального тела и плоскости и для солнечного паруса с фиксированным положением относительно начала координат равно бесконечное число логарифмических спиралей, отличающихся, скажем, истинной аномалией в 1 а.е. и той же абсолютной фазой? (другими словами, куда ведет эта кроличья нора? )
@uhoh Я немного озадачен. Для круговой орбиты по часовой стрелке в заданной плоскости достаточно указать ее двумерное положение в данный момент. Для логарифмической спирали по часовой стрелке представляется необходимым указать как 2D-положение, так и кривизну спирали. Может быть, аналогия со спиралью, у которой парус настроен на наиболее быструю потерю орбитальной энергии. Это уберет одну степень свободы.
Хм ... возможно, «для того же заданного центрального тела и плоскости и для солнечного паруса с фиксированным положением относительно начала координат» является неполным, поскольку в нем отсутствует «и заданное отношение площади к массе»; это сделает это? Я отвечаю быстро, не задумываясь. По мере уменьшения отношения площади к массе спираль становится более плотной и, так сказать, приближается к кругу.
@uhoh Да, я пропустил это. Кривизна (плотность спирали) будет зависеть от площади/массы, а также от того, в какую сторону направлен парус.
Являются ли спирали солнечного паруса логарифмическими? Можно ли это показать аналитически или только анализом размерностей?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v