Как появились операторы квантовой механики?

Хороший вопрос, как можно было придумать такую ​​странную теорию :-)

В современном виде теория была разработана Дираком (физик) и фон Нейманом (математик). фон Нейман по существу разработал необходимую математическую теорию операторов. Они оба написали книги по квантовой механике, объясняющие мотивацию операторов. (Вы можете предпочесть ту или иную книгу в зависимости от вашего образования: будь вы физиком или математиком.) Но они придали теории ее окончательный вид, а история действительно сложна. Чтобы немного разобраться в истории, я рекомендую van der Waerden, Sources in the history of квантовая механика , которая представляет собой сборник оригинальных статей, переведенных на английский язык, с его комментариями. Чтобы углубиться в историю, нужно, прежде всего, выучить немецкий язык.

(Некоторые люди, знавшие фон Неймана, говорят, что он был инопланетянином, инопланетянином: человеческий разум не мог выдумать такие вещи.)

РЕДАКТИРОВАТЬ. Как я уже сказал, открытие квантовой механики — это очень долгая история, и это результат коллективных усилий. Она начинается, по крайней мере, с открытия Бальмером эмпирической формулы для спектральных линий водорода, которая и запустила весь процесс. (Но на самом деле история восходит к Ньютону.) Затем следует упомянуть Ридберга и Ритца, а также Планка и Эйнштейна. Вехой стала теория Бора, которую иногда называют «старой квантовой механикой». Он правильно описывает многие явления, но операторов пока нет. Затем Гейзенберг, Шредингер, Борн, Жордан и Дирак совершили «квантовый скачок» и придали ему более или менее современную форму. Операторы были введены Дираком, но без строгого математического обоснования. Затем фон Нейман разработал необходимую строгую математическую теорию.«История спектроскопии 19 века» . Он охватывает развитие от Ньютона до Бора. Я не знаком ни с каким изложением подобного качества и ясности для периода между Бором и Гейзенбергом. Книга Зоммерфельда Atombau und Spektrallinien близка к ней, но его больше интересовало современное состояние теории, чем история.

Поворот к операторам произошел в статье Гейзенберга 1925 г., и это был компромисс между позициями Бора и Борна. Бор хотел минимальных модификаций классической механики, таких как его правила квантования для атома водорода, в то время как Борн хотел новой дискретной механики, управляемой разностными уравнениями. Идея Гейзенберга заключалась в том, чтобы сохранить уравнения движения более или менее классическими, но по-новому интерпретировать в них символы. Эти символы представляют наблюдаемые (положение, импульс, энергия и т. д.), а в гамильтоновой динамике они являются функциями положения.$x$и импульсы$p$, которые образуют фазовое пространство. Применяя эту идею, Гейзенберг обнаружил, что его символы, например, не коммутируют друг с другом.$xp-px=i\hbar$с постоянной Планка$\hbar$, поэтому они не могут быть числами. Его друг-математик указал, что матрицы не коммутируют и могут удовлетворять таким соотношениям, и это дало предложению Гейзенберга название матричной механики. За исключением того, что, поскольку электроны в атоме имеют бесконечно много энергетических уровней, эти «матрицы» должны были иметь бесконечный размер.

Примерно в то же время Шредингер работал с другой точки зрения, он хотел свести квантовые эффекты к волновой динамике. Поэтому он представлял состояния квантовых систем волновыми функциями.$\psi$на фазовом пространстве и искал уравнения движения. Его идея заключалась в том, что квантовые частицы представляют собой волновые пакеты, и первоначально он думал о$|\psi|^2$как плотность заряда, только позднее Борн отождествил ее с плотностью вероятности. После появления матричной механики Шредингер понял, что ему нужно ввести в свою картину наблюдаемые, но они не могут быть простыми символами. Поскольку состояния являются волновыми функциями в фазовом пространстве, а не его точками, наблюдаемые не могут быть их функциями, они должны действовать на волновые функции, как матрицы действуют на векторы. После некоторых экспериментов в 1926 году он придумал представлять положение оператором умножения.$\psi\mapsto x\psi$, а импульс дифференцированием$\psi\mapsto-i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial x}$. Большая подсказка заключалась в том, что если мы подумаем о$x,p$как эти операторы тогда$(xp-px)\psi=i\hbar\,\psi$. Затем мы можем сформировать другие наблюдаемые из этих. Классическая кинетическая энергия$p^2/2m$, замена$p$по его оператору получаем$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$из уравнения Шрёдингера. Полная энергия классического осциллятора равна$p^2/2m+kx^2/2$, замена дает гамильтониан квантового осциллятора$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{kx^2}2$. И так далее.

В 1930 году Дирак концептуализировал эту картину в своем учебнике «Принципы квантовой механики» (1930) , где, среди прочего, он ввел обозначение скобок. Затем фон Нейман дал аксиоматическую формулировку, основанную на введенном им понятии абстрактного гильбертова пространства, и установил, что матричная и волновая механики говорят об одном и том же двумя разными способами. В картине Шредингера состояния стали элементами гильбертова пространства, а именно пространства$L^2$квадратично интегрируемых (волновых) функций на позиционном пространстве. Наблюдаемые стали на нем самосопряженными операторами. Однако при выборе ортонормированного базиса в этом пространстве состояния становятся (бесконечными) векторами, а операторы становятся (бесконечными) матрицами. Это картина Гейзенберга.

На Physics SE есть соответствующая ветка. Как появились операторы? Ландсман дает хороший краткий обзор исторических событий в книге « Между классической и квантовой» . Более исчерпывающими ссылками являются «Квантовые поколения» Крэга и классическая «Концептуальное развитие квантовой механики» Джаммера .