Каковы последствия такой теории, как квантовая механика, если математика предполагает, что она включает в себя бесконечности, большие и плотные, чем реальные?

Я не силен ни в математике, ни в физике. Так что мой вопрос может быть некорректным. Рассмотрим физическую теорию, в которой количества/наблюдаемые значения имеют значение только из рациональных чисел, и физическую теорию, в которой количества принимают значение из вещественных чисел. Это определенно имело бы широкомасштабные последствия для того, что теория объясняет или предсказывает. Из теории множеств мы знаем, что существуют бесконечности, которые больше и плотнее действительных чисел, точно так же, как вещественные числа плотнее рациональных чисел. Итак, каковы будут последствия для QM или TOE, если математика предполагает, что некоторые наблюдаемые берут значения из этих более плотных наборов?

Объясняет ли это уже идея мультивселенной? Я знаю, что Гипотеза Математической Вселенной Макса Тегмарка просто подразумевает эквивалентность между математической структурой и физическим существованием.

Ответы (1)

Вопрос о том, «насколько велика» мощность континуума ( 2 ℵ 0 ) довольно сложно в теории множеств. Это согласуется с ZFC, что он может быть больше, чем наивно ожидалось (если верно отрицание континуум-гипотезы).

Кроме того, нет (насколько мне известно) полей чисел мощности большей, чем континуум (даже гиперреалы имеют такую ​​мощность). И это довольно неизбежное требование любой разумной математической теории КМ, чтобы наблюдаемые принимали значения в поле чисел, иначе было бы очень трудно (вероятно, невозможно) сопоставить математические предсказания с наблюдениями.

Вопрос о том, могут ли сюрреалистические или гиперреальные числа (которые оба содержат действительные числа, даже если они имеют одинаковую мощность) быть полезными для создания более удовлетворительной теории КМ, возможно, более интересен. Математические доказательства, такие как принцип переноса для гиперреальных чисел, предполагают, что, вероятно, теория КМ с гиперреальными/сюрреалистическими числами будет иметь по существу такую ​​же предсказательную силу, как и стандартная КМ в том виде, в каком она сформулирована, но, вероятно, будет более сложной и должна будет разрабатываться с нуля.

Можно также подумать о развитии квантовой теории в другой математической теории, в основном ослабив аксиому выбора (что приводит к некоторым противоречивым результатам). Например, в модели Соловея (ZF+DC) каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу и л 1 и л ∞ являются двойниками друг друга. Однако отсутствие АК для множеств большой мощности может быть довольно неудобным, тем более что алгебра наблюдаемых, удовлетворяющая каноническим коммутационным соотношениям, например, несепарабельна (и поэтому, вероятно, мало что можно было бы доказать на ней без полного АК). Тем не менее, возможно, стоит исследовать такие направления, если не для непосредственной конкретной применимости, то хотя бы ради знаний.

+1. Я многому научился из вашего ответа. Я уверен, что есть дубликат моего вопроса, но мимоходом ваш ответ также применим к моей (наивной/упрощенной) идее о том, как мы относимся к «разным» бесконечностям при перенормировке в базовой КЭД, что я и читаю. Если я плохо сформулировал это, мои извинения, пожалуйста, не обращайте внимания, я спрошу позже.
@ Countto10 Я не уверен, что полностью понимаю ваш комментарий, в любом случае, если вы хотите уточнить / задать вопрос, я постараюсь ответить на него ;-)
Это интересный ответ, но обратите внимание, что существуют поля произвольной мощности, см., например, math.stackexchange.com/questions/1296889/… .
Я не знаю, что значит "поля чисел", но если имеется в виду поля, то есть поля произвольной мощности, а если числовые поля, то все числовые поля счетны.
Это кажется мне совершенно неправильным по причинам, объясненным в моем ответе. Математические доказательства, такие как принцип переноса для гиперреальных чисел, предполагают, что, вероятно, теория КМ с гиперреальными/сюрреалистическими числами будет иметь по существу такую ​​же предсказательную силу, как и стандартная КМ в том виде, в каком она сформулирована, но, вероятно, будет более сложной и должна будет разрабатываться с нуля. Это не имеет смысла. Принцип переноса в основном говорит нам о том, что гиперреальные числа не генерируют в приложениях результатов, отличных от действительных систем счисления.
Можно также подумать о развитии квантовой теории в другой математической теории, в основном ослабив аксиому выбора (что приводит к некоторым противоречивым результатам). Например, в модели Соловея (ZF+DC) каждое множество вещественных чисел измеримо по Лебегу. Теория меры не имеет физических следствий. Физики, разработавшие квантовую механику, не знали теории меры. Теория меры нужна только для того, чтобы обсуждать множества, которые физики сочли бы патологическими, а не множества, имеющие реальные физические приложения.
@BenCrowell О гиперреалах я сказал то же самое, что и вы прокомментировали, то есть что использование гиперреалов не даст прогнозов, отличных от тех, которые получены с использованием реальных чисел (и я добавил «вероятно», потому что принцип переноса не применяется к каждому утверждению о гиперреалах) , вы бы повнимательнее читали... Что касается вашей точки зрения, то она, на мой взгляд, весьма сомнительна и слишком упрощенна. Создание математической модели для физических приложений зависит от предсказательной силы.
И лучший и самый точный прогноз, который вы можете сделать для площади круга радиуса один (в любой единице измерения) — независимо от того, насколько точны (или ограничены) ваши измерения — это то, что он измеряет π . Любой другой прогноз, который вы делаете и который не использует иррациональные числа, просто менее точен и, следовательно, менее полезен. И то же самое, конечно, можно сказать и о многих других, менее тривиальных примерах.
@BenCrowell Наконец, что касается теории меры, я тоже не согласен. Знание того, что есть или нет подмножества вещественных чисел, которые нельзя измерить, является важной информацией, которая имеет последствия. Это означает, например, что вы не можете на фундаментальном уровне иметь информацию о наблюдаемых в некоторых областях пространства (патологических или нет, это накладывает внутреннее ограничение на предсказательную силу некоторых физических теорий, основанных на наборах измерений вещественные, такие как классическая статистическая механика или квантовая механика).
Каковы последствия такой теории, как квантовая механика, если математика предполагает, что она включает в себя бесконечности, большие и плотные, чем реальные?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v