Рассчитать силу между вращающимися объектами

Точечные массы

Для двух точечных масс, столкнувшихся с импульсом$J$(мгновенный обмен импульсами) определяется скалярным уравнением

$$J = (1+\epsilon)\, \mu\, v_{imp}$$

Где:

• $\epsilon$- коэффициент реституции.
• $v_{imp} = {\bf n}^\top ( {\bf v}_1-{\bf v}_2)$скорость удара (относительная скорость вдоль нормального направления контакта${\bf n}$).
• $\mu^{-1} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$или$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$уменьшенная масса системы . Я предпочитаю термин эффективная масса удара.

Этот импульс оказывает одинаковое и противоположное действие на оба тела. Изменения в движении, описанные

$$\begin{align} \Delta {\bf v}_1 & = -\frac{J }{m_1} \,{\bf n} \\\Delta {\bf v}_2 & = +\frac{J}{m_2} \,{\bf n} \end{align}$$

Твердые тела

Теперь предположим, что тела [1] и [2] являются протяженными твердыми телами, а не точечными массами. Они определяются в момент удара векторами${\bf c}_1$и${\bf c}_2$для расположения центра масс относительно точки удара, и${\rm I}_1$,${\rm I}_2$момент массы матриц инерции 3 × 3 в центре масс (и вместе с мировыми координатами).

Скалярное уравнение для импульса такое же , как для точечной массы, за исключением эффективной массы.$\mu$с учетом инерционных свойств. Это предполагает контакт без трения.

$$J = (1+\epsilon) \mu \; v_{imp}$$

Где:

• $$\boxed{v_{imp} = {\bf n}^{\top}\left({\bf v}_{1}+{\bf c}_{1}\times{\boldsymbol{\omega}}_{1}-{\bf v}_{2}-{\bf c}_{2}\times{\boldsymbol{\omega}}_{2}\right)}$$ - относительная скорость по нормали контакта${\bf n}$.
• $$\boxed{\mu^{-1} = \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{1}\times{\rm I}_{1}^{-1}({\bf c}_{1}\times{\bf n})+{\bf c}_{2}\times{\rm I}_{2}^{-1}({\bf c}_{2}\times{\bf n})\right)}$$ - эффективная масса удара.

Таким образом, эффект твердого тела является дополнительным членом$-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{i}\times{\rm I}_{i}^{-1}\left({\bf c}_{i}\times{\bf n}\right)\right)$к обратной эффективной массе. Эти условия оказываются положительными, когда компоненты расширяются. Таким образом, твердое тело увеличивает обратную массу ==> уменьшает эффективную массу в точке удара.

Этот импульс$J$изменяет движение двух тел в соответствии с уравнениями движения

$$\begin{aligned} \Delta {\bf v}_1 &= -\frac{J}{m_1} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_1 &= {\rm I}_1^{-1} {\bf c}_1 \times J {\bf n} \\ \Delta {\bf v}_2 &= \frac{J}{m_2} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_2 &= -{\rm I}_2^{-1} {\bf c}_2 \times J {\bf n} \end{aligned}$$

Пример

Вертикальный стержень (тело [1]) длиной$\ell$воздействует точечная масса (тело [2]), движущаяся по$-x$направление в конечной точке.

Так как у нас есть точечная масса${\bf c}_2=0$. Для стержня момент инерции масс относительно$z$ось${\rm I}_1 = \left[ \matrix{ \ddots & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{m_1}{12} \ell^2} \right]$а расположение центра масс относительно точки контакта равно${\bf c}_1 = \pmatrix{0 \\ -\frac{\ell}{2} \\ 0}$. Наконец, нормаль контакта${\bf n} = \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}$.

Эффективная масса в точке удара

$$\mu^{-1}= \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} - \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}^\top \pmatrix{0\\ -\frac{\ell}{2} \\ 0} \times \pmatrix{0 \\ 0 \\ \frac{6}{m_1 \ell}} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} + \frac{3}{m_1}$$

$$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 +4 m_2}$$

Приложение

Если${\bf v}_1$– скорость центра масс тела [1] (${\bf v}_2$тела [2]), то векторы скорости в точке удара A определяются соотношениями

$$\begin{aligned} {\bf v}_1^A & = {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times {\boldsymbol \omega}_1 \\ {\bf v}_2^A & = {\bf v}_2 + {\bf c}_2 \times {\boldsymbol \omega}_2 \end{aligned}$$

Таким образом, скорость удара определяется как

$$v_{imp} = {\bf n}^\top ({\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times {\boldsymbol \omega}_1 - {\bf v}_2 - {\bf c}_2 \times {\boldsymbol \omega}_2)$$

Эффект импульса$J$вдоль${\bf n}$в месте удара ощущается как

$$\begin{aligned} \Delta {\bf v}_1 &= -\frac{J}{m_1} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_1 &= -{\rm I}_1^{-1} (-{\bf c}_1) \times J {\bf n} \\ \Delta {\bf v}_2 &= +\frac{J}{m_2} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_2 &= +{\rm I}_2^{-1} (-{\bf c}_2) \times J {\bf n} \end{aligned}$$

В свою очередь, эти изменения в движении тела изменяют движение в точке удара * A как

$$\begin{align} \Delta {\bf v}_1^A & = \Delta {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_1 \\ \Delta {\bf v}_2^A & = \Delta {\bf v}_2 + {\bf c}_2 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_2 \end{align}$$

Закон удара гласит, что вместе с нормалью контакта скорость отскока составляет часть скорости удара.

$${\bf n}^\top ( {\bf v}_1^A + \Delta {\bf v}_1^A - {\bf v}_2^A -\Delta {\bf v}_2^A) = -\epsilon \; {\bf n}^\top ( {\bf v}_1^A - {\bf v}_2^A )$$

Перенося известные (предударные) движения в правую часть, получаем

$${\bf n}^\top ( \Delta {\bf v}_1^A - \Delta {\bf v}_2^A) = -(1+\epsilon) \; v_{imp}$$

Добавляем эффект импульса$J$к выше, чтобы получить

$${\bf n}^\top ( \Delta {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_1 - \Delta {\bf v}_2 - {\bf c}_2 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_2) = -(1+\epsilon) \; v_{imp}$$

$${\bf n}^\top ( -\frac{J}{m_1} {\bf n} - {\bf c}_1 \times {\rm I}_1^{-1} (-{\bf c}_1) \times J {\bf n} - \frac{J}{m_2} {\bf n} - {\bf c}_2 \times {\rm I}_2^{-1} (-{\bf c}_2) \times J {\bf n}) = -(1+\epsilon) \; v_{imp}$$

$${\bf n}^\top ( -\frac{1}{m_1} {\bf n} + {\bf c}_1 \times {\rm I}_1^{-1} {\bf c}_1 \times {\bf n} - \frac{1}{m_2} {\bf n} + {\bf c}_2 \times {\rm I}_2^{-1}( {\bf c}_2 \times {\bf n})) J = -(1+\epsilon) \; v_{imp}$$

$$\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{1}\times{\rm I}_{1}^{-1}({\bf c}_{1}\times{\bf n})+{\bf c}_{2}\times{\rm I}_{2}^{-1}({\bf c}_{2}\times{\bf n})\right)\right)\,J=(1+\epsilon)\,v_{imp}$$

который решается для$J$

Связанные ответы:

• Говорит ли неупругое столкновение о том, что мяч отскакивает к вам, когда его бросают на землю под углом?
• Техника решения двумерной задачи линейного импульса
• Уравнения нецентрального импульса [закрыто]
• Чему равен начальный момент импульса твердого тела при воздействии на него импульсной силы?