Сжатие вращающейся системы

Давайте посмотрим на годограф постоянного радиуса и движения с постоянной скоростью.

Слева: траектория одной из масс. Справа: годограф, т.е. геометрическое место векторов скорости.

Теперь давайте подробнее рассмотрим, как изменяется скорость в течение небольшого промежутка времени.$\mathrm dt$.

Чтобы повернуть его, нужна сила (разница между коричневой и красной стрелками). Если вы приложите большую силу, вы увидите, что:

• скорость увеличивается в норме (пурпурная стрелка длиннее)
• скорость вращается быстрее (угол красно-пурпурного больше, чем красно-коричневого)

Ключом к пониманию этого явления является понимание того, что радиальное и орторадиальное направления не фиксированы : радиальное направление во времени$t$скоро будет орторадиальным направлением в какое-то время$t'$. Таким образом, когда вы говорите, что «радиальная сила изменяется$v_r$", на самом деле вы должны сказать "радиальная сила изменяет оба $v_r$и$v_θ$".

Для более формального объяснения обратите внимание на ускорение вдоль$\hat r$и$\hat θ$не является производной от амплитуды скорости вдоль$\hat r$и$\hat θ$. Действительно,$\vec v=v_r \hat r+v_θ \hat θ$, так$\vec a=(\dot{v_r}-v_θ\dot θ)\hat r+(v_r\dot θ+\dot{v_θ})\hat θ$, то есть$a_r=\dot{v_r}-v_θ\dot θ$и$a_θ=v_r\dot θ+\dot{v_θ}$. Следовательно$a_θ=0$не подразумевает$v_θ=\text{const.}$, скорее$\dot{v_θ}=-v_r\dot θ$: из-за вращения ($\dot θ≠0$), лучевая скорость ($v_r$) «конвертируется» в вариацию орторадиальной скорости ($\dot{v_θ}$).