Частично поляризованный свет с векторами Джонса?

Предлагаемый вами метод будет работать до тех пор, пока вы пропускаете свет только через линейные оптические компоненты, которые не изменяют степень поляризации света или общую мощность, и в этом случае вы будете использовать замаскированное исчисление Джонса: вы можете сохранить поляризованные и деполяризованные компоненты отдельный.

Но метод не будет работать в целом. Однако вы по-прежнему можете использовать матрицы Джонса для представления оптических компонентов, но применять их по-новому.

Частичную поляризацию очень сложно описать классически — это почти то же самое (и столь же сложно), как и классическое обсуждение частичной когерентности, и для полного обсуждения этого явления необходимо хорошо разбираться в случайных процессах. Борн и Вольф отводят этим понятиям целую главу. Но это очень элегантно описано в квантовой картине: частично поляризованный свет представляет собой статистическую смесь чистых квантовых состояний. Я обсуждаю оба подхода в своем ответе здесь .

Итак, теперь вы должны сначала прочитать о матрице плотности (см. статью в Википедии с таким названием) . Название «матрица» немного вводит в заблуждение, потому что на самом деле это «состояние» (хотя и смешанное), записанное как$N\times N$матрица (где$N$- это размерность квантовых состояний, с которыми вы имеете дело), ​​а НЕ «преобразование» или «оператор» на состояниях, как следует из названия «матрица». Он написан в виде матрицы, потому что это самый удобный способ получить из него статистику:$n^{th}$момент измерения наблюдаемой$\hat{A}$вычисляется как${\rm Tr}(\rho \hat{A}^n)$где$\rho$— матрица плотности, представляющая смешанное состояние. Таким образом, если состояние света представляет собой классическую статистическую смесь состояний поляризации с$2\times 1$Векторы Джонса$\vec{x}_1, \vec{x}_2, \cdots$с классическими вероятностями каждого состояния$p_1,p_2,\cdots$, то матрица плотности:

(обратите внимание на порядок:$\vec{x}_j \vec{x}_j^\dagger$это$2\times2$проекционная матрица). Легко видеть, что такие матрицы эрмитовы ( т.е. $\rho = \rho^\dagger$)

Итак, наш$2\times 2$смешанное квантовое световое состояние теперь представлено как общее$2\times2$эрмитов ( т.е. $H = H^\dagger$) матрица:

где$\sigma_0 = {\rm id}$это$2\times 2$матрица идентичности и$\sigma_j$являются спиновыми матрицами Паули. Коэффициенты$s_j$не что иное, как вектор Стокса. Любой$2\times2$Эрмитову матрицу можно записать так.

Теперь, если свет проходит через компонент без потерь, так что его матрица Джонса$U$унитарный$U U^\dagger = U^\dagger U = {\rm id}$, то матрица плотности принимает вид:

и длина «поляризованной» части света$(s_1, s_2, s_3)$не меняется.$s_0$с одной стороны и$(s_1, s_2, s_3)$с другой - оставаться раздельно и не смешиваться. Унитарная матрица перемешивает$(s_1, s_2, s_3)$но оставляет их сумму квадратов постоянной и действительно, если мы посмотрим только на$(s_1, s_2, s_3)$мы наблюдаем за группой$SU(2)$унитарных матриц Джонса, действующих на трехмерной алгебре Ли$i\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$из$SU(2)$через присоединенное представление $SO(3)$из$SU(2)$- в обыденном языке мы наблюдаем вращения сферы Пуанкаре .

Однако, если наша оптическая составляющая не без потерь, то преобразование$U$просто генерал$2\times2$Эрмитова матрица и$s_0$и$(s_1, s_2, s_3)$смешиваются в более общем линейном преобразовании. Вы можете, если хотите, по-прежнему использовать ваши матрицы Джонса, но вы должны использовать их, не воздействуя на состояние, а воздействуя на матрицу плотности: т.е. вместо вашего чистого состояния$x$преобразование как$x\mapsto U x$, ваша матрица плотности преобразуется с помощью так называемой спинорной карты$\rho\mapsto U \rho U^\dagger$.

Другой способ сделать это — просто отметить, что на карте$\rho\mapsto U \rho U^\dagger$, четыре параметра$(s_0,s_1, s_2, s_3)$определяющие матрицы плотности претерпевают линейные преобразования. Таким образом, вместо спинорных карт мы можем использовать$4\times4$матрица для представления общего оптического компонента. Это, конечно, матрица Мюллера. Для оптического компонента с общей неунитарной матрицей Джонса$U$, соответствующие элементы матрицы Мюллера$M$являются:

Матрица Мюллера действует на векторы в линейном пространстве$2\times2$Эрмитовы матрицы представляют собой векторное пространство над$\mathbb{R}$. Это пространство поставляется с внутренним продуктом для нахождения компонентов «векторов» формы Киллинга.$\left<A,B\right> = {\rm Tr}(A^\dagger B) = {\rm Tr}(A B)$, именно так я записал выражение выше. Вектор Стокса — это просто матрица плотности, живущая в этом пространстве, но записанная в виде$4\times 1$столбец с действительными значениями, а матрица Мюллера реализует линейную спинорную карту на переписанной матрице плотности.

В более общем смысле, исчисление Мюллера - это просто еще один способ вычисления преобразований, производимых матрицей плотности для любой конечномерной квантовой системы с помощью различных операций, которые могут включать унитарные операторы или преобразование чистых состояний в смешанные состояния типа Вигнера-Френда . Каждый$N$размерная квантовая система подразумевает$N^2 \times N^2$размерное исчисление Мюллера, когда матрицы плотности записываются в виде столбцов. Здесь «базисными векторами» являются матрицы$\left|\left.x_j\right.\right>\left<\left.x_k\right.\right|$где$x_j$являются базовыми квантово-чистыми состояниями. $N^2 \times N^2$Матрица Мюллера оперирует вектором коэффициентов$\rho_{j,k}$в матрице плотности$\sum\limits_j\sum\limits_k \rho_{j,k}\left|\left.x_j\right.\right>\left<\left.x_k\right.\right|$.

Сноска: как указал Тримок (спасибо, Тримок), стандартная нумерация матриц Паули дает переупорядочение параметров Стокса ОП:

... с соглашениями ОП у вас есть соответствие$s_1 \to s_z, s_2 \to s_x, s_3 \to s_y$с$\rho = s_0\sigma_0 + s_x \sigma_x +s_y \sigma_y +s_z\sigma_z$