Моделирование внешних сил в лагранжевой динамике

Внешняя сила$F_{\rm ext}(t)$появляется как исходный термин$qF_{\rm ext}(t)$в лагранжиане. Например, если уравнение движения имеет вид

$$\tag{1} m\ddot{q}~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q} + F_{\rm ext}(t),$$

тогда лагранжиан читается

$$\tag{2} L(q,\dot{q},t)~=~\frac{m}{2}\dot{q}^2-V(q)+ qF_{\rm ext}(t).$$

В случае, если сила консервативна , я бы смоделировал силу, добавив дополнительный потенциальный член$\psi$к лагранжиану таким, что:

$$\vec{F} = -\nabla\psi$$

Если бы невынужденный лагранжиан был

$$L_{\text{unforced}} = T - V$$ принудительная версия сейчас $$L_{\text{forced}} = T - (V + \psi)$$

Насколько мне известно, моделирование неконсервативных сил в рамках лагранжевой структуры затруднено, поэтому мне было бы интересно, знает ли кто-нибудь, как это делается (или даже может ли это быть вообще).

Я где-то читал ответ, но теперь, когда я хотел его проверить, вместо этого я нашел этот вопрос. Так что я делаю это из дырявой памяти.

Что вы делаете, так это вычисляете проделанную работу,$W(q)$, силой в зависимости от того, как$q$(обобщенное положение) меняется. Тогда модификация уравнений Эйлера-Лагранжа:

$$\frac d{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{\partial W}{\partial q}$$

Например, рассмотрим двойной маятник, длина первого маятника$L_1$, имеет массу$m_1$прикреплен к его концу и образует угол$\theta_1$к вертикали, и на нем свисает второй маятник длиной$L_2$, имеющий массу$m_2$прикрепленный к его концу и образующий угол$\theta_2$к вертикали. Предположим, мы прикладываем силу$F$к массе на конце второго маятника в горизонтальном направлении. Затем

$$L = \tfrac12 L_1^2 m_1 \dot \theta_1^2 + \tfrac12 L_2^2 m_2 \dot \theta_2^2 - m_1 g L_1 \cos(\theta_1) - m_2 g \bigl(L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_2)\bigr)$$ и $$W = F \bigl(L_1 \sin(\theta_1) + L_2 \sin(\theta_2)\bigr) .$$ Последняя формула — это просто сила, умноженная на расстояние. Он должен быть только «локально верным», то есть корректным для малых возмущений $q$.

Для одиночного маятника с постоянным крутящим моментом$T$примененный к точке разворота, мы бы имели

$$W = T \theta .$$ Таким образом, уравнение движения будет $$\ddot \theta + \frac g L \sin \theta = \frac T {L^2 m} .$$

Я бы сказал, что при наличии в системе внешних неконсервативных сил модель строится с помощью принципа Далабера, т.е. принципа виртуальной работы, обобщающего Эйлера-Лагранжа.

Принцип Даламбера (принцип виртуальной работы) гласит, что изменение

$$\int_{t_0}^{t_1}\, \Big(\, \delta L\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, - \,Q(q,\, \dot{q}, t) \cdot \delta q \, \, \Big) dt \, = \, 0$$ для любого варианта$\delta q = \delta q(t)$траектории системы$q = q(t)$который соединяет два фиксированных события$(q_0, t_0)$и$(q_1, t_1)$. Как и в случае Эйлера-Лагранжа, траектория$q = q(t)$является решением, именно тогда, когда $$\int_{t_0}^{t_1} \left( \, \Big[\,\, \frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big)\,\Big] \cdot \delta q \, - \, Q(q,\, \dot{q}, t) \cdot \delta q \, \, \right) dt \, = \,$$ $$\int_{t_0}^{t_1} \left( \, \Big[\,\, \frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, - \, Q(q,\, \dot{q}, t) \, \Big] \cdot \delta q \, \, \right) dt \, = \, 0$$ что дает уравнения $$\frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, = \, Q(q,\, \dot{q}, t)$$