Оценка энергии, рассеиваемой демпфером / демпфером

У меня есть система с массой м прикрепленный к концу кабеля. Масса кабеля считается пренебрежимо малой. Кабель прикреплен к земле одним концом, а другой конец с присоединенной массой м , движется вертикально с некоторой известной скоростью в . Кабель моделируется как система 2-го порядка с известными значениями демпфирования. б и весна к коэффициенты. Я пытаюсь использовать принцип сохранения энергии для определения импульсной силы , возникающей в кабеле (в частности, на подвижном конце), когда кабель натягивается, но у меня возникают проблемы с учетом энергии, рассеиваемой из-за демпфирования кабеля. Кабель хорошо демпфирован, что значительно снижает генерируемую импульсную силу. Я настроил следующую систему уравнений, кто-нибудь может посоветовать, как я могу их решить? Я предполагаю, что мне нужно следовать какому-то итеративному процессу? Или есть альтернативный метод, которому я мог бы следовать, который был бы проще?

Е 1 "=" Е 2
Е 1 "=" 1 2 м в 1 2
Е 2 "=" 1 2 к Икс 2 + м г Икс + ∫ 0 т б в ( т ) 2 д т
в ( т ) "=" в 0 + ∫ 0 т а ( т ) д т
а ( т ) "=" Ф ( т ) / м
Ф ( т ) "=" к Икс ( т ) + б в ( т ) + м г

Е 1 - кинетическая энергия в момент, когда трос начинает растягиваться, а Е 2 - энергия системы, когда масса остановилась, а трос растянулся вертикально на некоторое расстояние Икс . Энергия в системе при Е 2 равно запасенной энергии в пружине, увеличение потенциальной энергии из-за растяжения троса на расстояние Икс и энергия, рассеиваемая демпфером / приборной панелью. Я пытаюсь решить уравнение 3 , чтобы рассчитать изменение длины кабеля. Икс , который я затем буду использовать для расчета импульсной силы из,

Ф я м п ты л с е "=" к Икс

Возможно, ответ заключается в использовании этих уравнений с принципом сохранения импульса?

м в 1 "=" Ф я м п ты л с е * т

Также предполагается, что масса не вращается при ударе, и я пренебрегаю рассеянием энергии из-за распространения поперечных или продольных волн в кабеле.

Кабельная модель на E_1

Пара уточняющих вопросов: кабель считается безмассовым? Затухание происходит по всему кабелю? Можете ли вы нарисовать схему установки - где именно происходит демпфирование? Если вы спрашиваете о мгновенном ускорении массы при ее освобождении (с натянутой веревкой), то это просто решение дифференциального уравнения для затухающего гармонического осциллятора с граничными условиями v(0)=0. Вы должны быть в состоянии найти г в / г т и, таким образом, ускорение, из которого следует сила.
Вот это непонятно: кабель с демпфирующими свойствами? Вы имеете в виду банджи-веревку с высокой степенью гистерезиса? Схема, пожалуйста.
Привет, @Floris, Герт. Я добавил простую диаграмму модели в момент 1, как раз перед тем, как кабель начинает растягиваться. Масса движется вертикально (только, извините, схема немного перекошена) с известной начальной скоростью в "=" в 1 .
Чтобы ответить на ваш вопрос, @Floris, да, я пренебрегаю массой кабеля, я использую сосредоточенные значения для коэффициентов пружины и демпфирования и предполагаю, что они постоянны по всему кабелю. Я пытаюсь рассчитать импульсную силу, создаваемую движущейся массой на натянутом тросе. Я могу получить это от мгновенного ускорения от выпуска, но тогда я обязательно потребую изменения длины кабеля? Это значение неизвестно. Все, что я знаю, это скорость в 1 и свойства кабеля.
@ Герт, я полагаю, что кабель будет иметь некоторый вклад в гистерезис, но кабель не очень эластичный, и поэтому я моделирую его как незначительный. Демпфирование является результатом внутренних сил трения в кабеле, которые рассеивают энергию в виде тепла.

Ответы (2)

Если изначально масса равна Икс "=" 0 и начальная скорость В тогда реакция положения (с недостаточным демпфированием):

Икс ( т ) "=" Икс опыт ⁡ ( − β т ) грех ⁡ ( ю т ) "=" В ю е − ζ ю н т грех ⁡ ( ю т )

где

ю н "=" к м ζ "=" г 2 м ю н "=" г 2 к м ю "=" ю н 1 − ζ 2 "=" к м − д 2 4 м 2

Сила на веревке равна Ф "=" к Икс + г Икс ˙ а импульс есть Дж "=" ∫ Ф г т определяется за полпериода колебаний. Подключение отклика позиции дает

Дж "=" ∫ 0 π ю к Икс + г Икс ˙ г т "=" "=" В м ( 1 + е − π ζ 1 − ζ 2 )

Так что без демпфирования ζ "=" 0 и Дж "=" 2 В м для идеального "отскока" и с критическим демпфированием ζ "=" 1 и Дж "=" В м с «пластиковой» реакцией. Вышеупомянутое может быть переопределено как коэффициент восстановления ϵ с

ϵ "=" е − π ζ 1 − ζ 2

Кинетическая энергия Е "=" 1 2 м Икс ˙ 2 и его стоимость на н -й полупериод колебаний равен

Е н "=" 1 2 м В 2 ϵ 2 н
а так как коэффициент реституции 0 ≤ ϵ ≤ 1 затем Е н ≤ Е 0 "=" 1 2 м В 2

Ты звезда, спасибо! Это выглядит довольно точно. У меня только два вопроса. Во-первых, могу ли я найти решение интеграла - Дж "=" ∫ 0 π ю к Икс + г Икс ˙ г т - где-то для проверки вменяемости или ты сам это вычислил? Во-вторых, если уравнение - Ф "=" к Икс + г Икс ˙ - не включать гравитационную составляющую?
Демпфирующая часть упрощается до нуля
д ∫ Икс ˙ г т "=" д ∫ 0 π ю г д т Икс опыт ⁡ ( − β т ) грех ⁡ ( ю т ) г т "=" 0
И часть жесткости дает
к ∫ Икс г т "=" к ∫ 0 π ю Икс опыт ⁡ ( − β т ) грех ⁡ ( ю т ) г т "=" к Икс ю β 2 + ю 2 ( 1 + е − π β ю )
Небольшая поправка — «положение равновесия» для колебаний — это положение, в котором сила пружины будет противодействовать силе тяжести; за исключением того, что поскольку это веревка, ее можно только тянуть, а не толкать. Уравнение движения остается тем же, пока веревка натянута, но есть дополнительная сила, которая немного смещает положение равновесия. В противном случае, это тот анализ, на который я намекал, но не успел написать - так что спасибо (и плюс) вам за это.

Мне кажется, вы делаете это более сложным, чем это должно быть. Когда трос впервые натягивается, сила пружины еще не действует, и единственная сила будет в ⋅ к - по определению сопротивления в приборной панели. Вы можете вычислить последующее движение, решив затухающий гармонический осциллятор.

Дайте мне знать, достаточно ли этого?

Нет, я не думаю, что это правильно @Floris. Внутреннее трение начнет поглощать энергию только по мере удлинения кабеля. Затем кабель одновременно начнет поглощать энергию в виде энергии упругости/деформации из-за пружины. Е с "=" 1 2 к Икс 2 , а так же система получит потенциальную энергию (передаваемую от начальной кинетической энергии естественно) за счет последующего увеличения высоты.
В конечном итоге импульсная сила будет зависеть как от вязкостного демпфера, так и от пружины, при этом вклад каждого компонента будет меняться со временем (вклад демпфера будет максимальным при т "=" 0 + , с Ф д "=" б в 1 + , в то время как вклад пружины будет максимальным, когда масса остановится при т "=" т , с Ф к "=" к Икс . В идеале я хотел бы каким-то образом оценить энергию, рассеиваемую демпфером по мере замедления массы. Затем я уберу это количество энергии из системы, чтобы оценить расстояние Икс что кабель растягивается, и используйте это для оценки средней импульсной силы.
Итак, вы ищете максимальную достигнутую высоту и оценку средней силы при замедлении массы. И вы думаете, что смещения достаточно, чтобы во время этого замедления нельзя было игнорировать влияние гравитации. Верно?
Да, точно. Я сделал грубый расчет с потенциальной энергией и без нее, хотя пренебрег демпфированием, и оно весьма существенно повлияло на импульсную силу. Около 30-35%, хотя это определенно уменьшится, если я смогу каким-то образом включить оценку демпфирования.
Оценка энергии, рассеиваемой демпфером / демпфером
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v