Уравнения Лагранжа для неголономной моногенной системы

Question

Уравнения Лагранжа для неголономной моногенной системы

силы
Физика
классическая механика
ограниченная динамика
лагранж-формализм
вариационный принцип

Кашмири

Для моногенных и частного случая неголономных связей, когда имеем

\begin{matrix} (2-20) & \sum_{к} а_{л к} г д_{к} + а_{т т} г т "=" 0 \end{matrix}

$\sum_{k} a_{l k} d q_{k}+a_{t t} d t=0 \tag{2-20}$ мы используем множители Лагранжа и принцип гамильтона, чтобы получить следующее уравнение:

Гольдштейн, 2 издание

$\begin{matrix} (2-29) & \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{к}} - \frac{\partial л}{\partial д_{к}} "=" \sum_{л} λ_{л} а_{л к}, к "=" 1, 2, \dots, н . \end{matrix}$ $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}, \quad k=1,2, \ldots, n.\tag{2-29}$

И дальше говорит

В чем заключается физический смысл $\lambda_{i}$ с? Предположим, что вы сняли ограничения с системы, но вместо этого применили внешние силы. $Q_{k}^{\prime}$ таким образом, чтобы движение системы оставалось неизменным. Уравнения движения также останутся прежними. Ясно, что эти дополнительные приложенные силы должны быть равны силам связи, поскольку они являются силами, приложенными к системе, чтобы удовлетворить условию связи. Под влиянием этих сил $Q_{k}^{\prime}$ , уравнения движения
$\begin{matrix} (2-31) & \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{к}} - \frac{\partial л}{\partial д_{к}} "=" {Вопрос}_{к}^{'} . \end{matrix}$ $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=Q_{k}^{\prime}.\tag{2-31}$ Но они должны быть идентичны уравнениям. (2-29). Следовательно, мы можем идентифицировать $\sum \lambda_{1} a_{l k}$ с $Q_{k}^{\prime}$ , обобщенные силы связи.

Вопрос : Откуда следует, что «Под влиянием этих сил $Q_{k}^{\prime}$ , уравнения движения имеют вид (2-31)?"

Поскольку у нас моногенная система, потенциал может быть функцией скоростей. $V=V(r,\dot r,t)$ поэтому, заменив ограничения эквивалентными силами и используя принцип Даламбера, мы могли бы получить

\frac{г}{г т} (\frac{\partial Т}{\partial {\dot{д}}_{Дж}}) - \frac{\partial Т}{\partial д_{Дж}} "=" {Вопрос}_{Дж}

$\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}$ а не экв. (2-31).

Может ли кто-нибудь пролить свет, пожалуйста.

Ответы (2)

Уравнения Лагранжа для неголономной моногенной системы

Qмеханик · Answer 1

Гольдштейн говорит о полуголономных связях ; не общие неголономные ограничения, такие как, например, неравенства.
Обращение Гольдштейна к полуголономным связям с помощью принципа стационарного действия уже подвергалось критике, например, в работе. 3. и это и это связанные сообщения Phys.SE.
Чтобы быть конкретным, давайте с этого момента будем рассматривать только 2-е издание Гольдштейна.
Подчеркнем, что результат (2-29) правильный. Для обобщения см., например, этот пост Phys.SE.
Можно рассмотреть силы связи $\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}$ на правой стороне ур. (2-29) как примеры обобщенных сил , ср. экв. (2-31). Этот момент, возможно, является одним из сомнений ОП.
Похоже, что Гольдштейн неявно и без необходимости предполагает, что все неограниченные силы моногенны , т. е. что они имеют обобщенные (возможно, зависящие от скорости) потенциалы, ср. экв. (1-58).
ОП, похоже, ошибочно предполагает, что силы принуждения также моногенны и/или что все силы являются силами принуждения. Оба не так.
Чтобы доказать уравнение (2-29) нам нужно установить уравнение. (2-23), или, в более общем случае, ур. (1-52).
Сейчас Гольдштейна критикуют за использование принципа Гамильтона (2-2). Проблема в том, что нельзя просто применить полуголономные ограничения через множители Лагранжа в расширенном принципе стационарного действия, ср. пункт 2.
Вместо этого мы будем полагаться на принцип Даламбера (1-45). Небольшая модификация ур. (2-24)-(2-28) и окружающие аргументы приводят к результату (2-29).

Использованная литература:

Г. Гольдштейн, Классическая механика, 2-е издание; Раздел 2.4.
Г. Гольдштейн, Классическая механика, 3-е издание; Раздел 2.4.
М. Р. Фланнери, Загадка неголономных ограничений, Am. Дж. Физ. 73 (2005) 265 .

Эли · Answer 2

EL с неголономными уравнениями связи

\begin{aligned} у вас есть н_{ш} неголономные уравнения связи \\ (1) & Ф_{ш} "=" Ф_{ш} ({\dot{д}}_{1}, д_{1}, \dots, {\dot{д}}_{с}, д_{с}) "=" 0, ш "=" 1.. н_{ш} \\ Уравнения ЭЛ с множителем Лангранжа λ_{ш} \\ (2) & \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} "=" \underset{{Вопрос}_{я}}{\underset{⏟}{\sum_{ш "=" 1}^{н_{ш}} а_{(я, ш)} λ_{ш}}}, я "=" 1.. с \\ где \\ а_{(ш, я)} "=" \frac{\partial Ф_{ш}}{\partial {\dot{д}}_{я}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{you have $~n_w~$non holonomic constraint equations}\\ &F_{w}=F_w({\dot{q}}_1~, q_1~,\ldots~,{\dot{q}}_s~, q_s)=0~,w=1..n_w\tag 1\\\\ &\text{EL equations with Langrange multiplier $~\lambda _w$ }\\ &\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\underbrace{\sum_{w=1}^{n_w} a_{(i,w)}\,\lambda_w}_{Q_i}~,i=1..s\tag 2\\ &\text{where}\\ &a_{(w,i)}=\frac{\partial F_w}{\partial \dot q_i} \end{align*}$ Вместо уравнения (1) и (2) вы применили ЭЛ с внешними силами

\begin{aligned} (3) & \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{я}} - \frac{\partial л}{\partial д_{я}} "=" \underset{{\bar{Вопрос}}_{я}}{\underset{⏟}{\sum_{Дж "=" 1}^{с} \frac{\partial р_{я}}{\partial д_{Дж}} ф_{Дж}}}, я "=" 1.. с \\ где ф_{Дж} - неконсервативные компоненты внешней силы ф_{Дж} "=" ф_{Дж} (д, \dot{д}) \\ и р_{я} компоненты вектора положения \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\underbrace{\sum_{j=1}^{s}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}f_j}_{\bar Q_{i}}~,i=1..s\tag 3\\ &\text{where $~f_j~$ are the non conservative external force components}~f_j=f_j(\mathbf q~,\mathbf{\dot{q}})\\ &\text{and $~r_i~$ the position vector components} \end{align*}$ заметим , что консервативные силы равны

- \frac{\partial U}{\partial q_{i}}

$-\frac{\partial U}{\partial q_i}$ где U - потенциальная энергия

уравнение (3) равно уравнению (1) и (2) если $~\bar Q_i=Q_i~$ и уравнение связи (1) выполняется, это то, что написал проф. Гольштейн?

Вектор положения r является функцией обобщенных координат $f_{i}\rightarrow \sum ^{s}_{j=1}\dfrac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}}f_j$ Обновлю док.

Уравнения Лагранжа для неголономной моногенной системы

Кашмири

Ответы (2)

Qмеханик

Кашмири

Эли

Кашмири

Эли

Кашмири

Путаница с виртуальными смещениями

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа для обобщенных координат без «виртуальной работы»?

Почему исчезает полная виртуальная работа сил от ограничений? (Перпендикулярность двух или более частиц)

Почему мы можем предполагать независимые переменные при использовании множителей Лагранжа в неголономных системах?

Принцип Гамильтона и виртуальная работа силами связи

Виртуальная работа: как приложенная сила связана с выбранными координатами?

Применение множителей Лагранжа в принципе действия