Как можно объяснить импульс поглощенного фотона?

Введение

Передача импульса включается должным образом, когда учитывается движение центра масс.$\mathbf R$атома как динамической переменной. Выполнение дипольного приближения позволяет рассматривать все электроны как взаимодействующие с некоторым полем в центре атома,$\mathbf F(\mathbf R,t)$, но сейчас$\mathbf R$является оператором на степенях свободы центра масс, а это означает, что вероятности перехода должны это учитывать.

Говоря простым языком, гамильтониан взаимодействия можно перефразировать как

$$\hat H_\mathrm{int}=\mathbf d\cdot\mathbf F(\mathbf R,t),$$ где $\mathbf d$есть некоторый дипольный оператор, действующий на внутренние электронные степени свободы, и $\mathbf F(\mathbf R,t)$является полевым оператором, который зависит от $\mathbf R$. Вероятности перехода должны быть взяты между начальным состоянием $|\Psi_i⟩=|\chi_i⟩|\psi_i⟩$которое является совместным состоянием внутренних степеней свободы в состоянии $|\psi_i⟩$а движение центра масс в состоянии $|\chi_i⟩$и аналогичное конечное состояние. Тогда общая вероятность перехода включает коэффициент пространственного согласования $$\left\langle\chi_f|\mathbf F(\mathbf R,t)|\chi_i\right\rangle$$ который управляет передачей импульса. Таким образом, если оба $|\chi_i⟩$и $|\chi_f⟩$имеют определенный импульс и поле монохроматично, то импульс поля $\hbar\mathbf k$должно точно совпадать с разницей импульсов между ними, иначе амплитуда перехода исчезнет.

Ниже я привожу более подробный отчет об этом расчете. Относительно трудно найти ссылки, потому что они утонули в море статей и учебников по доплеровскому охлаждению, но SJ van Enk's Selection rules and center-of-mass motion of ultracoldatomics ( Quantum Opt. 6 , 445 (1994) , eprint ) дает хорошее введение, которому я следую ниже.

Актуальность

Прежде чем я перейду к суровой математике, я хочу объяснить, почему в целом нормально не делать ничего из следующего. Очень немногие вводные учебники включают что-либо из этого, и это редко рассматривается в повседневной физике, но это определенно требуется для сохранения энергии и импульса. Так что дает?

Этому есть две причины.

• Во-первых, связанные с этим энергетические изменения на самом деле не так уж велики. Рассмотрим, например, Лиман-$\alpha$линия водорода, которая имеет относительно высокую частоту (и, следовательно, импульс фотона) и происходит на легком атоме, поэтому эффект должен быть относительно сильным. Импульс фотона кажется значительным, при$p=m_\mathrm{H}\times 3.3\:\mathrm{m/s}$, но изменение скорости, которое он сообщает, ничтожно по сравнению с атомной единицей скорости,$\alpha c=2.18\times 10^{6}\:\mathrm{m/s}$.

  Что еще более важно, кинетическая энергия для изменения мала, при$\tfrac1{2m_\mathrm{H}}p^2=55\:\mathrm{neV}$, так что это объясняет дробную расстройку порядка$5\times 10^{-9}$по частоте, которую имел бы переход, если бы атом был неподвижен. Это выполнимо с помощью точной спектроскопии, но вам нужны все эти девять значащих цифр в вашем устройстве обнаружения, чтобы иметь возможность обнаружить это.

• Вдобавок ко всему, крошечные толчки фотонов обычно заглушаются сравнительно огромными флуктуациями положения атома из-за его теплового движения. При комнатной температуре,$k_B T\approx 26\:\mathrm{meV}$, что означает, что движение атома и сопровождающее его (неконтролируемое) доплеровское смещение вызовут большое доплеровское уширение , которое полностью замаскирует отдачу фотона. (Для водорода при комнатной температуре эффект представляет собой дробное уширение порядка$10^{-5}$, так что линия по-прежнему выглядит узкой, но порядка$30\:\mathrm{GHz}$, по сравнению с$530\:\mathrm{MHz}$сдвиг от отдачи фотона.)

  Однако это не проблема, если вы можете охладить свои атомы до нужной температуры. Если вы можете достичь температуры порядка$p^2/2mk_B\approx0.64\:\mathrm{mK}$, то эффекты будут явно измеримыми. Действительно, обычно вы используете отдачу фотонов, чтобы помочь вам охладиться с помощью доплеровского охлаждения , чтобы добраться туда (хотя этого обычно недостаточно, и вам нужны дополнительные шаги субдоплеровского охлаждения , такие как Сизифово или боковое охлаждение, чтобы закончить работу).

С другой стороны, все эти проблемы были преодолены, и наблюдение отдачи фотонов стало более или менее обычным делом в течение сорока лет или около того. Современные методы высокоточной спектроскопии могут достигать 15-16 значащих цифр, а фотонная отдача является неотъемлемой частью теории и экспериментального инструментария.

Гайки и болты

Рассмотрим пучок заряженных частиц$q_i$и масса$m_i$на позициях$\mathbf r_i$, на которые воздействует поле излучения, описываемое векторным потенциалом$\mathbf A(\mathbf r,t)$в датчике радиации (так$\nabla\cdot\mathbf A(\mathbf r,t)=0$) и с учетом (трансляционно-инвариантного) потенциала$\hat V=V(\mathbf r_0,\ldots,\mathbf r_N)$. Полный гамильтониан системы имеет вид

$$\begin{align} \hat H &= \sum_i \frac1{2m_i}\left(\mathbf p_i-q_i\mathbf A(\mathbf r_i,t)\right)^2+\hat V \\&= \sum_i\left[\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}-\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t)+\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}\right]+\hat V \\&= \sum_i\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}+\hat V-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) +\sum_i\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}. \end{align}$$ Квадратичный член $\sum_i\frac{\mathbf A(\mathbf r_i,t)^2}{2m_i}$известен как диамагнитный член, и его обычно безопасно игнорировать, потому что его можно исключить с помощью тривиального калибровочного преобразования в рамках дипольного приближения . (Вне этого вам действительно нужно беспокоиться об этом.)

Тогда главный гамильтониан взаимодействия

$$\hat H_\mathrm{int}=-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t).$$ (В большинстве случаев этот гамильтониан взаимодействия «датчика скорости» вида $\mathbf p\cdot\mathbf A$можно перефразировать с помощью калибровочного преобразования в более привычное $\mathbf r\cdot\mathbf E$-стиль взаимодействия в метре длины. Однако здесь это не обязательно, поэтому я буду придерживаться датчика скорости.)

Преобразования координат

Чтобы выявить роль центра масс, перейдем к переменным

$$\mathbf R=\sum_{i=0}^N\frac{m_i}{M}\mathbf r_i \quad\text{and}\quad \newcommand{\rro}{\boldsymbol{\rho}} \rro_i=\mathbf r_i-\mathbf r_0 \quad\text{for }i=1,\ldots, N$$ с $M=\sum_im_i$, и где положение нулевой частицы (т.е. ядра) выпадает как динамическая переменная. Преобразование импульсов как $$\mathbf P=\sum_{i=0}^Np_i \quad\text{and}\quad \newcommand{\ppi}{\boldsymbol{\pi}} \ppi_i=\mathbf p_i-\frac{m_i}{M}\sum_{j=0}^N\mathbf p_j$$ и обратные отношения читаются $$\begin{align} \mathbf r_0&=\mathbf R-\sum_{j=1}^N\frac{m_j\rro_j}{M} & & \mathbf r_i=\mathbf R+\rro_i-\sum_{j=1}^N\frac{m_j\rro_j}{M} \\ \mathbf p_0&=\frac{m_0}{M}\mathbf P-\sum_{j=1}^N\ppi_j & & \mathbf p_i=\frac{m_i}{M}\mathbf P+\ppi_i .\end{align}$$

Наконец, векторный потенциал можно просто аппроксимировать в центре масс, поэтому

$$\mathbf A(\mathbf r_0,t)\approx\mathbf A(\mathbf r_i,t)\approx\mathbf A(\mathbf R,t).$$ Тогда гамильтониан взаимодействия имеет вид $$\begin{align} \hat H_\mathrm{int} &= -\frac{q_0}{m_0}\mathbf p_0\cdot\mathbf A(\mathbf r_0,t) -\sum_{i>0}\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) \\&= -\frac{q_0}{m_0}\left( \frac{m_0}{M}\mathbf P-\sum_{i>0}\ppi_i \right)\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) -\sum_{i>0}\frac{q_i}{m_i}\left( \frac{m_i}{M}\mathbf P+\ppi_i \right)\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) \\&= \sum_{i>0} \left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)\ppi_i\cdot\mathbf A(\mathbf R,t) \end{align}$$ для нейтральной системы.

Амплитуды перехода

Это действительно все, что нужно. Вероятность перехода из начального состояния$|\Psi_i⟩$к возможному конечному состоянию$|\Psi_f⟩$можно просто прочитать как

$$⟨\Psi_f|\hat H_\mathrm{int}|\Psi_i⟩,$$ с некоторыми дополнительными тонкостями, если кто-то хочет быть строгим с временной эволюцией и вывести, например, золотое правило Ферми.

Если центр масс удерживается неподвижным в пространстве, то все, что имеет значение, - это атомный дипольный момент, который для этого взаимодействия гамильтониан читается как

$$\sum_{i>0}\left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)⟨\psi_f|\ppi_i|\psi_i⟩,$$ взятый между внутренними состояниями $|\psi_i⟩$и $|\psi_f⟩$; затем он отмечен фиксированным векторным потенциалом $\mathbf A(\mathbf R,t)$дать скорость перехода.

Однако для динамического центра масс, который начинается в состоянии$|\chi_i⟩$и что мы ищем в штате$|\chi_f⟩$, полная вероятность перехода читается

$$\sum_{i>0}\left(\frac{q_0}{m_0}-\frac{q_i}{m_i}\right)⟨\psi_f|\ppi_i|\psi_i⟩ \cdot ⟨\chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i⟩.$$

Здесь матричный элемент$⟨\chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i⟩$непосредственно контролирует поглощение одного кванта импульса состоянием центра масс. Чтобы получить полное сохранение импульса, вы действительно должны рассмотреть пример с монохроматическим полем,

$$\mathbf A(\mathbf R,t)=\mathbf A_0\cos(\mathbf k\cdot\mathbf R-\omega t),$$ поэтому поле дает четко определенный вклад импульса, а начальное и конечное состояния имеют определенные импульсы $\mathbf k_i$и $\mathbf k_f$соответственно - т.е. плоские волны с такими волновыми векторами. Затем матричный элемент читается $$\begin{align} ⟨\chi_f|\mathbf A(\mathbf R,t)|\chi_i⟩ &= \mathbf A_0 \int\frac{\mathrm d\mathbf R}{(2\pi\hbar)^3} e^{i(\mathbf k_i-\mathbf k_f)\cdot\mathbf R/\hbar}\cos(\mathbf k\cdot\mathbf R-\omega t) \\&= \frac12\mathbf A_0\left( \delta(\mathbf k_i-\mathbf k_f+\mathbf k)e^{-i\omega t} + \delta(\mathbf k_i-\mathbf k_f-\mathbf k)e^{+i\omega t} \right). \end{align}$$ В картине квантованного поля первый член с положительной частотой становится оператором уничтожения, который вычитает один фотон из поля и добавляет $\hbar\mathbf k$импульса к движению центра масс, а второй член становится оператором рождения, который испускает один фотон, исключая $\hbar\mathbf k$импульс от движения атома. Если вы используете классическое поле с квантованным веществом, приближение вращающейся волны обычно требует, чтобы вы сохранили только первый член для поглощения и только второй член для излучения с соответствующими эффектами на импульс центра масс.

Энергия

Наконец, что насчет кинетической энергии? Наивно, энергия фотона в идеале должна быть немного выше, чем энергия перехода, чтобы учесть увеличение кинетической энергии центра масс (при этом забывается, что лазер также может замедлить атом, если он летит в лазер, а лазер смещено в красную сторону, но на самом деле все то же самое). Как это объяснить?

На самом деле, вы заметите, что я вообще не говорил об энергетических соображениях и уж точно не навязывал никакой связи между начальным и конечным внутренними состояниями и атомным гамильтонианом. Как оказалось, внешнее движение трактуется точно так же.

В начале я разделил гамильтониан на атомарную и интерактивную части:

$$\hat H = \sum_i\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}+V(\mathbf r_0,\ldots,\mathbf r_N)-\sum_i\frac{q_i}{m_i}\mathbf p_i\cdot\mathbf A(\mathbf r_i,t) =\hat H_\mathrm{at}+\hat H_\mathrm{int}$$ (Для квантованного поля вам, конечно, также необходимо включить гамильтониан поля.) Теперь атомный гамильтониан, как указано, является функцией индивидуальных координат, но в идеале мы хотим перефразировать его в терминах внутреннего плюс-центр- массовые координаты. Затем это дает $$\hat H_\mathrm{at} =\frac{\mathbf P^2}{2M} +\left[ \sum_{i>0}\frac{\ppi_i^2}{2\mu_i}+\sum_{i\neq j>0}\frac{\ppi_i\cdot\ppi_j}{2m_0} + V(\mathbf 0,\rro_1,\ldots ,\rro_N) \right] =\hat H_\mathrm{COM}+\hat H_\mathrm{el}.$$ Кинетическая энергия центра масс учитывается напрямую, а внутренний гамильтониан $\hat H_\mathrm{el}$это то, что мы на самом деле диагонализируем, когда находим собственные электронные состояния. (Здесь $\mu_i=(m_i^{-1}+m_0^{-1})^{-1}$это $i$уменьшенная масса, а кросс-кинетические члены обычно подавляются большой ядерной массой. $m_0$.)

Однако, что более важно, если мы хотим сказать, что система перешла из состояния с определенной энергией в другое состояние с определенной энергией, поглотив фотон, то ей необходимо перейти из одного собственного состояния в другое с полным атомным гамильтонианом .$\hat H_\mathrm{at}$, включая степень свободы центра масс. Тогда энергия фотона должна учитывать изменение энергии во всем, а не только в электронном переходе.