Как найти оптимальную траекторию запуска ракеты с планеты с атмосферой?

Первоначально я задал этот вопрос на бирже математического стека.

Как следует из названия, я пытаюсь найти оптимальную траекторию запуска ракеты, запускаемой с планеты с атмосферой (Земля), чтобы максимизировать полезную нагрузку на орбиту. Мне нужно сделать проект по физике на втором курсе, и я бы очень хотел не ступить в лабораторию, поэтому я пытаюсь сделать что-то более математическое по своей природе, и, если быть честным, я хочу знать, как играть в Kerbal Space Program. более оптимально.

Я студент второго курса университета, изучаю теоретическую физику (почти математику и физику). Я прошел линейную алгебру 1 и 2, (ньютоновскую) механику 1 и 2, исчисление 1 и 2 и некоторые физические модули, которые на самом деле не актуальны. В настоящее время я занимаюсь лагранжевой механикой, реальным анализом и «уравнениями математической физики», которые представляют собой преобразования Фурье, векторное исчисление, ОДУ и некоторые другие вещи. Большая часть моих знаний о вариационном исчислении получена из краткого обзора, который я получил на уроке лагранжевой механики. Книгой для модуля линейной алгебры была «Алгебра» Артина, а для лагранжевой механики рекомендуемыми книгами являются книги Ландау и Лифшица, том 1 и 2, чтобы дать представление об уровне (я думаю, что эти 2 будут наиболее актуальными). Мой уровень относительно этого таков, что с усилием я могу выполнить домашнее задание. что я действительно хочу здесь, так это книги / документы, которые нужно прочитать, и немного помочь понять математику в них. Я впервые пытаюсь найти и прочитать статьи, поэтому любая помощь приветствуется. Кроме того, я впервые задаю вопрос об обмене математическими стеками, поэтому любая критика также приветствуется.

При поиске ресурсов в Интернете мне было трудно найти что-либо, что отвечает на мой вопрос. Мне повезло с сервером технических отчетов НАСА, и я нашел эту статью: Teren, F.; Сперлок, О.Ф.: Оптимальные трехмерные траектории ракеты-носителя с ограничениями ориентации и скорости ориентации, которые, похоже, помогут ответить на мой вопрос, но все еще есть некоторые вещи, которые мне не ясны, например, где оптимизировано уравнение и ограничения. родом из. Это, по-видимому, взято из «Stancil, RT; и Kulakowski, LJ: Оптимизация миссии ракеты-носителя. ARS J., том 31, № 7, июль 1961, стр. 935-942». на который ссылаются в более ранней статье Терена и Сперлока, в которой рассматривается только двумерная версия проблемы:, но я не смог найти эту статью в Интернете бесплатно. Я также столкнулся с линейным тангенциальным рулевым управлением, на которое, возможно, стоит обратить внимание, возможно, кто-то может пролить свет на это?

Я буду первым, кто признается, что я не понимаю всего, что происходит в этих газетах, поэтому, если я пропустил ответ на какой-либо из своих вопросов, я заранее извиняюсь. Во-первых, в этой статье говорится, что она не учитывает атмосферную фазу, кроме угла выброса ракеты-носителя, поскольку обычно требуется минимизировать аэродинамические нагрузки на ракету, что имеет смысл. Означает ли это, что бумага предполагает гравитационный поворот ?с единственным приложенным крутящим моментом, являющимся гравитацией планеты? Или решает ее в более общем плане и допускает создание ракеты-носителя, которая может допускать небольшую скорость тангажа? Если это допускает небольшое отклонение от нормы, должен ли я использовать максимально допустимое значение? Я не понимаю, почему логика, используемая для демонстрации того, что вы используете максимум для оптимизированных частей траектории, не должна применяться и в атмосфере. Я еще не пытался решить свои начальные и конечные условия, но если кто-то захочет предложить несколько советов для этого, они будут очень признательны. Я знаком с некоторыми численными методами, но у меня есть ощущение, что в конце концов я буду бороться с численным решением этого, поэтому советы или приемы для этого также будут большим подспорьем.

Если вы прочитали все это, не сдавшись, вы святой, и спасибо, что нашли время ответить.

Это очень очень широкий вопрос. Когда я вижу «оптимальное», я вынужден спросить «относительно чего?». Если у вас есть модель в виде набора дифференциальных уравнений, критерия и граничных условий, есть масса инструментов для численного решения задачи. Но для меня этот набор инструментов появился на четвертом курсе выпускного класса...
Что касается полезной нагрузки, которую данная ракета может вывести на заданную орбиту. Я знаю, что это сложный вопрос, потому что я не нашел удовлетворительного ответа, но все это означает, что мне придется немного поработать над собой. Я ценю, что набор инструментов для решения этой проблемы находится на уровне продвинутого выпускника, поэтому у меня практически нет шансов понять его, но я все равно был бы признателен за любые указатели в правильном направлении, такие как книги, веб-сайты, конспекты лекций, учебные пособия и т. д.
НАСА использует (или использовало) программу под названием POST (Программа для оптимизации смоделированных траекторий). Это покрывается ITAR, поэтому вы не можете его получить, но этот документ описывает его довольно подробно и может представлять интерес: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770012832.pdf .
Я только что просмотрел его, но это выглядит очень интересной статьей, она должна быть очень полезной. Слишком плохо об ИТАР, ну да ладно. Спасибо.
Вы должны изучить оптимальное управление! Это позволяет вам иметь определенные функционалы стоимости, которые определяют, что «оптимальное означает» в вашем случае, а затем вы можете использовать вариационное исчисление для разработки уравнений состояния, которые вы можете численно интегрировать, что дает оптимальное решение на основе вашей постановки задачи.

Ответы (1)

Добро пожаловать на сайт! Боюсь, ответ, который вы ищете, не тот, который вам нужен. Короче говоря, оптимальный гравитационный разворот должен быть рассчитан численно, потому что профиль плотности атмосферы и поле скоростей по своей сути определяются численно на основе местных условий во время запуска. (Есть стандартная атмосфера, а затем учет струйного течения и тому подобного.)

Вы упомянули, что сейчас изучаете лагранжианы и ОДУ. Это идеально подходит для этой проблемы. В конечном счете, цель гравитационного разворота состоит в том, чтобы минимизировать функцию «стоимости», которую мы определяем как общее дельта-V, потребляемое во время запуска. Если мы определим угол тангажа ракеты во времени как θ ( т ) , а вы знаете профиль массы и тяги ракеты во времени м ( т ) , т ( т ) , можно решить дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для уравнений движения.

м р ¨ "=" т ( т ) потому что ⁡ ( θ ( т ) ) + м ф ˙ 2 р − м г ( р ) − Ф тащить ( р , р ˙ , ф ˙ , θ ( т ) , . . . ) р ^
м р ф ¨ "=" т ( т ) грех ⁡ ( θ ( т ) ) − 2 р ˙ ф ˙ − Ф тащить ( р , р ˙ , ф ˙ , θ ( т ) , . . . ) ф ^

Я уверен, вы думаете, что в этих уравнениях много членов, они нелинейны (эта надоедливая ф ˙ 2 / р действительно мешает нам использовать стандартные методы решения) и, в конечном счете, состоят из функций, которые сами определяются численно. Для функции сопротивления требуется профиль плотности атмосферы (как минимум) вместе с коэффициентом сопротивления для 0 AoA. Если вам нужен ненулевой угол атаки, сверхзвуковое сопротивление и т. д., то для этого и нужен многоточие.

Функция стоимости скрыта в этих уравнениях по вашему выбору. м ( т ) и т ( т ) , потому что это определяет ваш конкретный импульс. В конечном итоге я предполагаю, что вы хотите минимизировать общую массу для начального случая, но могут быть причины не минимизировать массу. Возьмите Сатурн-5, первая ступень была на РП-1 со страшным удельным импульсом 256 секунд. (В принципе) Могли ли они сделать его легче с LH2/LOX и лучшими двигателями? Да. Была ли инженерия практичной для этого? Нет, они разработали двигатели F1 с учетом максимальной тяги, чтобы поднять вторую ступень и остальную часть ракеты на высоту, на которой двигатели J-2 могли бы работать эффективно.

При этом есть несколько простых случаев, для которых кто-то (не я) уже сделал домашнее задание по гравитационным поворотам в различных оптимальных условиях. Поэтому я свяжу их здесь.

Профили подъема (включая гравитационный разворот, тягу двигателей, угол атаки и т. д.) рассчитываются непосредственно перед запуском (<1 дня) с использованием наилучших доступных прогнозов и измерений атмосферы. Естественно, в этих моделях все еще есть некоторая ошибка, и, следовательно, существует ограниченное замкнутое управление первой, второй (и, возможно, третьей) ступенями для исправления этих ошибок и выхода на целевую орбиту.

Я надеюсь, что это просветит вас и в некоторой степени ответит на вопрос. Я настоятельно рекомендую настроить уравнения в Mathematica или аналогичном программном обеспечении, если это возможно, и оптимизировать профиль подъема, изменив функцию для угла тяги и угла тангажа.

Я не возражаю против численного ответа, учитывая количество ограничений, которые, как я предполагал, придется решать численно. В ваших уравнениях я предполагаю, что тау — это тяга, а м неявно является функцией времени? Что касается минимизации массы, это было бы неплохо, но цель состоит в том, чтобы максимизировать полезную нагрузку для данной ракеты, будь она эффективной или неэффективной. Я вижу довольно много вещей, которые я должен добавить в пост, чтобы сделать его более понятным, поэтому я сделаю это сейчас. Я не думаю, что вы могли бы порекомендовать книги, которые охватывают это, включая атмосферную фазу? Все те, что я нашел, перескочили прямо к фазе на орбите.
Да, tau — это тяга, а m — явная функция времени (расход топлива известен). Так что, если вы работаете с данной ракетой, то эти функции будут в основном одинаковыми от траектории к траектории, но могут быть внесены небольшие изменения, чтобы лучше оптимизировать любой конкретный гравитационный поворот. (Ракетные двигатели могут быть в некоторой степени дроссельными)
Значит, я совершенно неправильно понял, что пытались сделать те документы, на которые я ссылался?
Из того, что я прочитал, документы представляют собой математический метод для стандартного гравитационного разворота с учетом ограничений по дальности и тангажу, который обеспечивает большую часть максимизации полезной нагрузки, при этом большая часть маневрирования выполняется над атмосферой. Насколько я могу судить, это подходящие ресурсы для вашего проекта, но вы также должны иметь в виду, когда они будут опубликованы (1960-е годы). Я интерпретировал ваш вопрос как тонкую настройку этих методов с учетом местной атмосферы и незначительных изменений тяги, где теперь мы можем вычислить результаты за секунды, тогда как такая быстрая итерация тогда не была доступна.
Мне неизвестны ресурсы, специально рассматривающие маневрирование в атмосфере. Связанные документы на самом деле рассматривают вариации над атмосферой. Что-то, что может помочь, — это изучение длительных ожогов. Несмотря на то, что они в основном связаны с ионными двигателями и т.п., некоторые стратегии оптимизации из них могут хорошо подойти для решения этой проблемы.
Вы мне очень помогли, и я благодарю вас за это. Насколько я могу судить, атмосферная фаза обычно недоступна для оптимизации, поскольку обычно требуется минимизировать нагрузку на ракету-носитель. Было бы неплохо иметь возможность учитывать колебания тяги, но я думаю, что могу спокойно не беспокоиться о местных атмосферных условиях, так как это не очень большой проект. Модель, которая будет работать для капитального ремонта реализма KSP, должна справляться с этой задачей. Я посмотрю на длительные ожоги и, возможно, вернусь с дополнительными вопросами. Спасибо за помощь еще раз.
Как найти оптимальную траекторию запуска ракеты с планеты с атмосферой?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v