Расчеты ретроспективного времени и возраста Вселенной

Полная плотность энергии по определению

$$\Omega_{T,0} = \Omega_{R,0} + \Omega_{M,0} + \Omega_{\Lambda,0},$$ так что со значениями, которые вы приводите ( $\Omega_{R,0}=4.8\times 10^{-5}$, $\Omega_{M,0}=0.317$, $\Omega_{\Lambda,0}=0.683$), мы получаем $\Omega_{T,0} = 1$, или в более общем обозначении $\Omega_{K,0}=1-\Omega_{T,0}=0$, т. е. пространство с нулевой кривизной.

Также принято определять современное значение коэффициента масштабирования как$a_0=1$, так что

$$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}a^{-4} + \Omega_{M,0}a^{-3} + \Omega_{K,0}a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}.$$

Тогда возраст Вселенной можно определить следующим образом:

$$\frac{\text{d}a}{\text{d}t} = \dot{a},$$ мы получаем $$\begin{align} \text{d}t &= \frac{\text{d}a}{\dot{a}} = \frac{\text{d}a}{aH(a)} = \frac{a\,\text{d}a}{a^2H(a)}\\ &= \frac{1}{H_0}\frac{a\,\text{d}a}{a^2\sqrt{\Omega_{R,0}a^{-4} + \Omega_{M,0}a^{-3} + \Omega_{K,0}a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}}\\ &= \frac{1}{H_0}\frac{a\,\text{d}a}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}a + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}a^4}}. \end{align}$$ Интегрирование дает разницу между временем испускания сигнала и временем его наблюдения: $$t_{\text{ob}} - t_{\text{em}} = \frac{1}{H_0}\int_{a_{\text{em}}}^{a_{\text{ob}}} \frac{a\,\text{d}a}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}a + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}a^4}},$$ а возраст Вселенной $$t_0 = \frac{1}{H_0}\int_0^1 \frac{a\,\text{d}a}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}a + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}a^4}}.$$ Это должно дать вам правильный возраст.