Почему давление воздуха у поверхности земли в точности равно весу всего столба воздуха над ней

Предположим, что давление на поверхности Земли равно$P$. Рассмотрим воздушный столб площадью поперечного сечения$A$. Восходящая сила, действующая на колонну,$F_{\text{up}}=PA$. Обозначим вес колонны как$W$. По определению «веса» сила, действующая вниз на колонну, равна$F_{\text{down}}=W$.

Предположим, что давление слишком низкое, так что$F_{\text{up}}<F_{\text{down}}.$Затем столб воздуха будет падать вниз. При этом к поверхности Земли прибывает больше молекул воздуха, что увеличивает плотность воздуха и, следовательно, также увеличивает давление. Поскольку давление увеличивается,$F_{\text{up}}$. Это будет продолжаться до тех пор, пока$F_{\text{up}} = F_{\text{down}}$, в это время система находится в равновесии и остается неизменной.

Другими словами, давление таково, что уравновешивает вес колонны, потому что это единственная ситуация, которая не изменится сразу.

Почему давление воздуха у поверхности земли (возникающее в результате столкновений молекул на поверхности земли, что связано со скоростью частиц) в точности равно весу всего столба воздуха над ним (который просто должен делать с количеством и массой молекул в столбе воздуха)?

Это не совсем так. Отклонения от гидростатического равновесия существуют. Общие названия этих отклонений — «погода» (краткосрочные и локальные отклонения) и «климат» (долговременные и глобальные отклонения).

Впрочем, это примерно так. Причины двоякие: гидростатическое равновесие и второй закон термодинамики.

Рассмотрим небольшой параллелепипед с двумя горизонтальными гранями (верхней и нижней) площадью$A$и высота$\Delta z$. Вертикальные силы, действующие на этот пакет, представляют собой направленную вниз силу гравитации и направленную вверх или вниз силу плавучести. Плавучесть — это разность давлений между верхней и нижней гранями, умноженная на площадь верхней и нижней граней. Определение$\Delta p \equiv p_\text{top} - p_\text{bottom}$, направленная вниз сила плавучести равна$F_b = A \Delta p$. Добавление гравитационной силы$mg$дает чистую нисходящую силу на посылку,$F = A \Delta p + mg$. Деление на массу дает ускорение вниз:$a = \frac {A \Delta p} m + g$. Поскольку масса равна объему, умноженному на плотность, это становится$a = \frac 1 {\rho} \frac {\Delta p}{\Delta z} + g$. В пределе$\Delta z \to 0$это становится$a = \frac 1 \rho \left(\frac {dp}{dz} + \rho g\right)$. Член в скобках должен быть равен нулю, чтобы посылка оставалась неподвижной:

Другая причина — второй закон термодинамики. Следствием этого закона является то, что система стремится к состоянию, при котором полная потенциальная энергия минимальна, если существует путь, позволяющий этому произойти. Гидростатическое равновесие минимизирует потенциальную энергию атмосферы. Движения вверх и вниз, возникающие в результате отклонений от гидростатического равновесия, обеспечивают самокоррекцию, которая перемещает атмосферу к гидростатическому равновесию.

Как отмечалось в моем вступительном абзаце, отклонения существуют. То, что Земля нагревается Солнцем в дневное время и остывает ночью, и что нагрев на единицу площади меняется в зависимости от широты, вызывает эти отклонения. Эти отклонения колеблются от небольших и локальных (послеполуденные конвективные ливни) до многих сотен километров (ураганы и тайфуны) и до глобальных (ячейки Хэдли, Феррела, полярные ячейки). Воздействие со стороны Солнца означает, что атмосфера Земли никогда не может находиться в точном гидростатическом равновесии. Это очень близко к гидростатическому равновесию после усреднения этих отклонений во времени и по поверхности Земли.

Вот простой, не математический ответ. Хотя давление на поверхности действительно зависит от скорости молекул воздуха, это не вся картина. Точнее сказать, что она зависит от скорости столкновений . Частота столкновений зависит от скорости молекул, т. е. от температуры. Но это также зависит от плотности молекул. Более высокая плотность означает большее количество столкновений. В свою очередь должно быть очевидно, что плотность у поверхности зависит от массы столба воздуха. Поэтому давление зависит от массы столба воздуха и местной температуры (скорости) воздуха.